Soit $\Omega = \{e_1;e_2;\cdots;e_p\}$ l'univers fini d'une expérience aléatoire. Son cardinal vaut $p$. Une *{bold::variable aléatoire discrète} $X$ sur $\Omega$ est une fonction qui à chaque issue élémentaire $e_{i}$ ($1 \leqslant i \leqslant p$) associe un nombre réel $x_j$ ($1 \leqslant j \leqslant n$). vspace{10} L'évènement "$X$ prend la valeur $x_j$" est noté $(X = x_j)$ et est formé de toutes les issues élémentaires $e_i$ de $\Omega$ ayant pour image $x_j$.
Soit $X$ une variable aléatoire discrète prenant les valeurs $\{x_1;x_2;\cdots;x_n\}$. Lorsqu'à chaque valeur $x_j$ ($1 \leqslant j \leqslant n$) on associe la probabilité de l'évènement $(X = x_j)$, on définit la *{bold::loi de probabilité} de $X$. On représente généralement une loi de probabilité sous forme de tableau :
$x_j$ & $x_1$ & $x_2$ & $\cdots$ & $x_n$ || $P(X = x_j)$ & $p_1$ & $p_2$ & $\cdots$ & $p_n$
Il faut vérifier que $\displaystyle p_1 + p_2 + \cdots + p_n = \sum_{j=1}^{j=n} p_i = 1$
Une urne contient cinq jetons indiscernables au toucher numérotés de $1$ à $5$. Un joueur participe à la loterie en payant $2$ €, ce qui lui donne le droit de prélever au hasard un jeton dans l'urne.
,, Si le numéro est pair, il gagne en euros le double de la valeur indiquée par le jeton.
,, Si le numéro est impair, il perd sa mise.
Soit $X$ la variable aléatoire égale au "gain algébrique". Déterminer la loi de probabilité de $X$ (sous forme de tableau).
On lance deux dés équilibrés à $6$ faces et on note $S$ la variable aléatoire donnant la somme des deux résultats obtenus. Déterminer la loi de probabilité de $S$ sous forme de tableau.
Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains devant peser normalement $500\;g$. Seuls les pains pesant au moins $490\;g$ vont être commercialisés. On note $X$ la variable aléatoire donnant les masses possibles des pains en grammes. On donne la loi de probabilité de $X$ :
$x_j$ & $480$ & $490$ & $500$ & $510$ & $520$ || $P(X = x_j)$ & $0,08$ & $0,29$ & $0,41$ & $0,12$ & $0,1$
Quelle est la probabilité qu'un pain pèse au moins $500\;g$ ?
Quelle est la probabilité qu'un pain soit commercialisé ?
Soit $X$ une variable aléatoire discrète prenant les valeurs $\{x_1;x_2;\cdots;x_n\}$ associées aux probabilités $\{p_1;p_2;\cdots;p_n\}$. L'*{bold::espérance} ou *{bold::moyenne} de $X$, notée $E(X)$, est : $\displaystyle E(X) = p_1x_1 + p_2x_2 + \cdots + p_nx_n = \sum_{i=1}^{i=n}p_ix_i$ Lorsque $X$ désigne le gain dans un jeu de hasard par exemple, $E(X)$ est le gain moyen que l'on peut *{bold::espérer}. Un jeu est *{bold::équitable} lorsque l'espérance du gain vaut $0$ et *{bold::défavorable} quand elle est négative.
Le tableau suivant donne la loi de probabilité du gain algébrique $X$ (variable aléatoire) d'un jeu de hasard :
$x_j$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ || $P(X = x_j)$ & $0,1$ & $0,25$ & $0,4$ & $0,2$ & $0,05$
Calculer $E(X)$ et donner la nature de ce jeu.
Soit $X$ une variable aléatoire discrète prenant les valeurs $\{x_1;x_2;\cdots;x_n\}$ associées aux probabilités $\{p_1;p_2;\cdots;p_n\}$. La *{bold::variance} de $X$, notée $V(X)$, est : $\displaystyle V(X) = p_1(x_1-E(X))^2 + \cdots + p_n(x_n - E(X))^2 = \sum_{i=1}^{i=n}p_i(x_i-E(X))^2 = E(X^2) - E(X)^2$ vspace{10} L'*{bold::écart-type} de $X$, notée $\sigma(X)$, est : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$
On donne les lois de probabilités du gain algébrique $X$ et $Y$ (variables aléatoires) de deux jeux :
$x_j$ & $-5$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $3$ || $P(X = x_j)$ & $0,2$ & $0,3$ & $0,1$ & $0,1$ & $0,3$
vspace{10}
$y_j$ & $-3$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ || $P(Y = y_j)$ & $0,1$ & $0,4$ & $0,2$ & $0,2$ & $0,1$
Quel jeu peut-on conseiller au joueur ?
Soient $X$ une variable aléatoire discrète prenant les valeurs $\{x_1;x_2;\cdots;x_n\}$. Pour $a \in \mathbb{R}$ et $b \in \mathbb{R}$, on peut définir une autre variable aléatoire, en associant à chaque issue donnant la valeur $x_j$, le nombre $ax_j+b$. On note cette variable aléatoire $aX+b$.
$E(aX+b) = aE(X)+b$ hspace{20} et hspace{20} $V(aX+b) = a^2V(X)$
Pour une variable aléatoire $X$, on donne $E(X) = 3$ et $V(X) = 16$. On pose la variable aléatoire $Y = -2X+5$. Calculer $E(Y)$, $V(Y)$ et $\sigma(Y)$.
Un coiffeur se déplace à domicile. On note $X$ le nombre de rendez-vous sur une journée. $X$ est une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par :
$x_j$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ || $P(X = x_j)$ & $3\%$ & $9\%$ & $15\%$ & $38\%$ & $18\%$ & $17\%$
Chaque rendez-vous lui rapporte $30$ €, et ses frais de fonctionnement quotidiens s'élèvent à $15$ €. On note $Y$ son gain journalier. $Y$ est une variable aléatoire.
Calculer $E(X)$ et $V(X)$.
Quelle relation lie $X$ et $Y$ ? Calculer $E(Y)$, $V(Y)$ et $\sigma(Y)$.
On distribue au hasard $150$ bons d'achat à la sortie d'une parfumerie. Parmi les bons d'achat offerts :
$\bullet$ $5$ donnent droit à $20$ € de réduction;
$\bullet$ $10$ donnent droit à $10$ € de réduction;
$\bullet$ $40$ donnent droit à $5$ € de réduction;
$\bullet$ les autres donnent droit à $2$ € de réduction.
Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le montant de la réduction offerte pour un bon d'achat distribué. vspace{10} Donner la loi de probabilité de $X$ puis calculer $E(X)$ et $V(X)$.
La loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ est donnée par le tableau ci-dessous.
$x_j$ & $2$ & $2,5$ & $3$ & $3,5$ || $P(X=x_j)$ & $0,3$ & $p$ & $20\%$ & $\frac{3}{10}$
Calculer $p$ puis calculer $E(X)$ et $V(X)$.
La roulette comporte $37$ cases numérotées de $0$ à $36$. Les entiers pairs sont sur des cases noires, les entiers impairs sont sur des cases rouges mais $0$ est sur une case verte. Un joueur veut participer, il a deux stratégies possibles.
$\bullet$ *{bold::Stratégie $1$} : Le joueur mise $5$ euros sur un numéro entre $1$ et $36$. S'il gagne il remporte $35$ fois sa mise et récupère sa mise, sinon il perd sa mise. vspace{10} $\bullet$ *{bold::Stratégie $2$} : Le joueur mise $5$ euros sur une couleur (noir ou rouge). S'il gagne il remporte $1$ fois sa mise et récupère sa mise, sinon il perd sa mise. vspace{10} Calculer l'espérance et l'écart-type du gain du joueur dans les deux cas. Commenter.
On propose deux jeux dont les règles sont décrites ci-dessous.
$\bullet$ Jeu $n^\circ 1$ : On lance un dé cubique équilibré numéroté de $1$ à $6$. Si on obtient $5$ ou $6$, on gagne $2$ euros, sinon on perd $1$ euro. Ensuite on lance une pièce équilibrée, si on obtient pile on gagne $1$ euro, sinon on ne gagne rien.
$\bullet$ Jeu $n^\circ 2$ : On lance un dé tétraédrique équilibré numéroté de $1$ à $4$. Si on obtient $4$, on gagne $3$ euros, sinon on perd $1$ euro. Ensuite, on lance une pièce équilibrée, si on obtient pile on gagne $2$ euros, sinon on perd $1$ euro.
Déterminer les lois de probabilité des variables aléatoires $X$ et $Y$ donnant le gain de chacun de ces jeux.
Quel est le meilleur jeu à choisir pour un joueur ?
Un exercice est composé de cinq questions pour lesquelles, on doit répondre obligatoirement par "vrai" ou "faux". Une réponse juste rapporte $2$ points, une réponse fausse retire $1$ point. En cas de score final négatif, la note est ramenée à zéro. On note $X$ la variable aléatoire qui donne la note d'un candidat ayant répondu au hasard.
Déterminer la loi de probabilité de $X$.
Quelle note peut espérer le candidat ?
On décide de ramener la note de chaque candidat sur $20$. Quelle note peut espérer alors le candidat ?
Un commerçant vend entre $0$ et $5$ fauteuils d'un modèle donné par jour. Soit $X$ la variable aléatoire qui indique le nombre de fauteuils vendus quotidiennement. $X$ suit la loi de probabilité suivante :
$x_i$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ || $P(X=x_i)$ & $0,1$ & $18\%$ & $0,23$ & $\frac{4}{10}$ & $a$ & $0,05$
Calculer $a$ puis $E(X)$.
Le vendeur perçoit une commission de $100$ € par fauteuil. De plus, il a des frais qui s'élèvent à $25$ € par jour. Déterminer le salaire qu'il peut espérer sur un mois où il travaille $20$ jours.
Un dé tétraédrique a été truqué de telle sorte que $p_2 = p_4 = 2p_1 = 2p_3$ (où $p_i$ est la probabilité d'apparition du résultat $i$). Un joueur lance ce dé. S'il obtient un résultat pair, il perd $x$ euros, sinon il gagne $y$ euros. Calculer $x$ et $y$ pour que le jeu soit équitable et que la variance du gain soit égale à $8$.
Un jeu consiste à lancer $3$ fois une pièce parfaitement équilibrée. Le joueur gagne $100$ euros s'il obtient trois fois pile. Sinon il perd $1$ euro. Soit $X$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur.
Représenter à l'aide d'un arbre les issues de cette expérience aléatoire.
Donner la loi de probabilité de $X$.
Le jeu est-il favorable au joueur ?
Dans cette question, la pièce est lancée $n$ fois, $n$ étant un nombre entier naturel non nul. Le joueur gagne $100$ euros s'il obtient $n$ fois pile ; sinon le joueur perd $1$ euro. On note $X_n$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur.
Démontrer que $\displaystyle P(X_n = 100)= \frac{1}{2^n}$ puis donner la loi de probabilité de $X_n$.
Calculer $E(X_n)$.
À l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que le jeu soit défavorable au joueur.
Paul effectue en voiture le même trajet tous les jours. Sur sa route, il y a trois feux. Une étude statistique, portant sur le nombre $X$ de feux rouges a permis d'établir les résultats suivants :
$x_j$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ || $P(X=x_j)$ & $\frac{1}{10}$ & $0,3$ & $0,4$ & $20\%$

Calculer $E(X)$ et $V(X)$.
Le trajet sans aucun arrêt dure $15\; min$ et chaque feu rouge rallonge la durée du trajet de $2\;min$. Soit $T$ la variable aléatoire qui donne la durée du trajet de Paul.
Quelle relation lie $X$ et $T$ ?
En déduire $E(T)$ et $V(T)$.
Un parc d'attractions propose une carte d'entrée pour la journée au prix de $30$ €. Cette carte donne accès à des attractions avec un prix unique de $2$ € par attraction. Une étude statistique a permis d'obtenir le tableau suivant :
Nombre d'attractions & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ || $\%$ de clients & $10$ & $25$ & $35$ & $25$ & $5$

Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'attractions choisies par un visiteur pris au hasard.
On note $S$ la variable aléatoire qui donne la somme totale qu'il dépense.
Quelle relation lie $X$ et $S$ ?
Calculer $E(X)$ et en déduire $E(S)$.
Le parc a des frais d'organisation qui s'élèvent en moyenne à $25$ € par client. Avec $200$ visiteurs par jour, quel bénéfice peut espérer le gérant sur un an, en ouvrant le parc $365$ jours ?