Le *{bold::produit scalaire} de $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$, noté $\vecteur{u} \cdot \vecteur{v}$, (se lit " $\vecteur{u}$ scalaire $\vecteur{v}$") est défini par : $\displaystyle \vecteur{u} \cdot \vecteur{v} = \frac{1}{2}\Big( || \vecteur{u} + \vecteur{v} ||^2 - || \vecteur{u}||^2 - || \vecteur{v}||^2 \Big) $
,, $\vecteur{u} \cdot \vecteur{v} = \vecteur{v} \cdot \vecteur{u}$ (*{bold::commutatif})
,, Si $\vecteur{ u} = \vecteur{0}$ ou $\vecteur{v} = \vecteur{0}$ alors $\vecteur{u} \cdot \vecteur{v} =0$
,, $\vecteur{u} \cdot \vecteur{u} = \vecteur{u}^2$ (*{bold::carré scalaire})
,, $\vecteur{u}^2 = || \vecteur{u} ||^2$
Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 6$, $AC = 5$ et $BC = 8$. Calculer $\vecteur{BA}\cdot \vecteur{AC}$
Soit $EFG$ un triangle tel que $EF = 10$, $FG = 3$ et $EG = 8$. Calculer $\vecteur{GE}\cdot \vecteur{EF}$
Soit $TRI$ un triangle tel que $RI = 5$, $RT = 6$ et $IT = 4$. Calculer $\vecteur{IR}\cdot \vecteur{TI}$
Deux vecteurs $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ sont *{bold::orthogonaux} quand $\vecteur{u} \cdot \vecteur{v} = 0$. On note alors $\vecteur{u} \perp \vecteur{v}$.
Soient deux vecteurs $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ non nuls et $k \in \mathbb{Z}$.
$\vecteur{u} \perp \vecteur{v}$ si et seulement si $\displaystyle (\vecteur{u},\vecteur{v}) = \frac{\pi}{2} + k \times 2\pi$ ou $\displaystyle (\vecteur{u},\vecteur{v}) = -\frac{\pi}{2} + k \times 2\pi$
Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 5$, $AC = 12$ et $BC = 13$. $\vecteur{BA}$ et $\vecteur{AC}$ sont-ils orthogonaux ?
Soit $EFG$ un triangle tel que $EF = 17$, $FG = 8$ et $EG = 15$. $\vecteur{GF}$ et $\vecteur{EG}$ sont-ils orthogonaux ?
Soit $KTD$ un triangle tel que $KT = 18$, $TD = 54$ et $KD = 45$. $\vecteur{TK}$ et $\vecteur{KD}$ sont-ils orthogonaux ?
Soit $TRI$ un triangle tel que $RI = 24$, $RT = 7$ et $IT = 25$. Démontrer que $\displaystyle (\vecteur{RT},\vecteur{RI}) = \frac{\pi}{2}$
Soit $MLA$ un triangle tel que $ML = 55$, $LA = 73$ et $MA = 48$. Démontrer que $\displaystyle (\vecteur{ML},\vecteur{MA}) = -\frac{\pi}{2}$
Soit $CXV$ un triangle tel que $CX = 77$, $CV = 35$ et $XV = 85$. $\vecteur{CX}$ et $\vecteur{CV}$ sont-ils orthogonaux ?
Dans un repère orthonormé du plan , soient $\cvecteur{u}{x}{y}$ et $\cvecteur{v}{x'}{y'}$, on alors : $(\vecteur{u},\vecteur{v}) = xx' + yy'$
Calculer le produit scalaire de $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$
$\cvecteur{u}{-2}{3}$ et $\cvecteur{v}{7}{-5}$
&
$\cvecteur{u}{15}{-8}$ et $\cvecteur{v}{6}{-9}$
&
$\cvecteur{u}{-1}{-2}$ et $\cvecteur{v}{-3}{-4}$
||
$\cvecteur{u}{\sqrt{3}}{-7}$ et $\cvecteur{v}{\sqrt{2}}{-\sqrt{6}}$
&
$\cvecteur{u}{\sqrt{3}-2}{6}$ et $\cvecteur{v}{\sqrt{3}+2}{1}$
&
$\vecteur{u}=\vecteur{AB}$ et $\cvecteur{v}{\sqrt{6}}{2}$, $A(\sqrt{24}+5;1)$ et $B(5;\sqrt{2})$
Soient deux vecteurs $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ non nuls et $k \in \mathbb{Z}$.
$\vecteur{u} \perp \vecteur{v}$ si et seulement si $\displaystyle (\vecteur{u},\vecteur{v}) = \frac{\pi}{2} + k \times 2\pi$ ou $\displaystyle (\vecteur{u},\vecteur{v}) = -\frac{\pi}{2} + k \times 2\pi$
Deux droites du plan sont *{bold::perpendiculaires} si et seulement si un vecteur directeur de l'une est *{bold::orthogonal} à un vecteur directeur de l'autre.
Soient quatre points $A(-1;2)$, $B(5;0)$, $C(3;4)$ et $D(6;13)$. Montrer que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires.
Soient quatre points $E(1;3)$, $F-2;-2)$, $G(3;1)$ et $H(13;-5)$. Montrer que les droites $(EF)$ et $(GH)$ sont perpendiculaires.
Soient deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ d'équations respectives $2x + 3y +8 = 0$ et $-6x+4y + 10 = 0$. Montrer que $(d_1$ est perpendiculaire à $(d_2)$.
Soient deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ d'équations respectives $-7x + 6y -1 = 0$ et $y = -5x + 8$. $(d_1$ et $(d_2)$ sont-elles perpendiculaires ?
Soient $k$ et $k'$ deux réels et $\vecteur{u}$, $\vecteur{v}$ et $\vecteur{w}$ trois vecteurs :
,, $\vecteur{u} \cdot (\vecteur{v} + \vecteur{w}) = \vecteur{u} \cdot \vecteur{v} + \vecteur{u} \cdot \vecteur{w} $
,, $(k\vecteur{u})\cdot(k'\vecteur{v}) = (k\times k') \vecteur{u} \cdot \vecteur{v}$
,, $(-\vecteur{u}) \cdot \vecteur{v} = \vecteur{u} \cdot (-\vecteur{v}) = - \vecteur{u} \cdot \vecteur{v}$
Développer puis exprimer les produits scalaires en fonction de $||\vecteur{u}||$, $||\vecteur{v}||$ et $\vecteur{u}\cdot \vecteur{v}$
$3\vecteur{u} \cdot (5\vecteur{u} + 4\vecteur{v})$
&
$-2\vecteur{u} \cdot (-\vecteur{v}+ 2\vecteur{u})$
||
$(5\vecteur{u}-4\vecteur{v}) \cdot (-\vecteur{v}+ \vecteur{u})$
&
$(-2\vecteur{v}+3\vecteur{u}) \cdot (4\vecteur{u}- 5 \vecteur{v})$
,, $(\vecteur{u} + \vecteur{v})^2 = \vecteur{u}^2 + \vecteur{v}^2 + 2\vecteur{u} \cdot \vecteur{v}$ ,, $||\vecteur{u} + \vecteur{v}||^2 = ||\vecteur{u}||^2 + ||\vecteur{v}||^2 + 2\vecteur{u} \cdot \vecteur{v}$
,, $(\vecteur{u} - \vecteur{v})^2 = \vecteur{u}^2 + \vecteur{v}^2 - 2\vecteur{u} \cdot \vecteur{v}$ ,, $||\vecteur{u} - \vecteur{v}||^2 = ||\vecteur{u}||^2 + ||\vecteur{v}||^2 - 2\vecteur{u} \cdot \vecteur{v}$
,, $(\vecteur{u} + \vecteur{v})\cdot (\vecteur{u} - \vecteur{v}) = \vecteur{u}^2 - \vecteur{v}^2$ ,, $(\vecteur{u} + \vecteur{v})\cdot (\vecteur{u} - \vecteur{v}) = ||\vecteur{u}||^2 - ||\vecteur{v}||^2$
Développer puis exprimer les produits scalaires en fonction de $||\vecteur{u}||$, $||\vecteur{v}||$ et $\vecteur{u}\cdot \vecteur{v}$
$( 5\vecteur{u} + 4\vecteur{v})^2$
&
$( -\vecteur{u} - 5\vecteur{v})^2$
||
$(5\vecteur{u}+4\vecteur{v}) \cdot (5\vecteur{u} -4\vecteur{v})$
&
$(2\vecteur{u}- 3 \vecteur{v})^2$
Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan et $I$ le milieu de $[AB]$. Pour tout point $M$ du plan : $\displaystyle MA^2+MB^2 = 2MI^2 + \frac{AB^2}{2}$
Démontrer le théorème de la médiane.
,, Soient $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ deux vecteurs non nuls : $\vecteur{u}\cdot \vecteur{v} = ||\vecteur{u}|| \times ||\vecteur{u}|| \times \cos{(\vecteur{u},\vecteur{v})}$ vspace{10} ,, Soient trois points $A$ , $B$ et $C$ distincts du plan : $\vecteur{AB}\cdot \vecteur{AC} = AB \times AC \times \cos{(\widehat{BAC})}$
Calculer $\vecteur{u}\cdot \vecteur{v}$ avec :
$||\vecteur{u}|| = 5$, $||\vecteur{v}|| = 2$ et $\cos{(\vecteur{u},\vecteur{v}}) = 0,1$
$||\vecteur{u}|| = 5$, $||\vecteur{v}|| = 8$ et $\displaystyle (\vecteur{u},\vecteur{v}) = \frac{\pi}{6} \;(2\pi)$
$||\vecteur{u}|| = 7$, $||\vecteur{v}|| = 2$ et $\displaystyle (\vecteur{u},\vecteur{v}) = \frac{5\pi}{2} \;(2\pi)$
$\displaystyle ||\vecteur{u}|| = \frac{5}{6}$, $ \displaystyle||\vecteur{v}|| = \frac{\sqrt{3}}{8}$ et $\displaystyle (\vecteur{u},\vecteur{v}) = -\frac{5\pi}{6} \;(2\pi)$
$||\vecteur{u}|| = 9$, $||\vecteur{v}|| = 6$ et $\displaystyle \vecteur{u} = -1,5\vecteur{v}$
$||\vecteur{u}|| = 2\sqrt{2}$, $||\vecteur{v}|| = \sqrt{8}$ et $\displaystyle (\vecteur{u},\vecteur{v}) = \pi \;(2\pi)$
$||\vecteur{u}|| = \sqrt{2}+1$ et $\displaystyle \vecteur{u} = \sqrt{3}\vecteur{v}$
Soient $R(-1;-2)$, $S(5;-4)$ et $T(3;6)$. Déterminer une mesure de $\widehat{SRT}$.
 
$ABC$ est un triangle tel que $AB=5$; $BC=6$ et $\widehat{ABC} = 60^\circ$
Faire une figure.
Calculer $\vecteur{BA}\cdot \vecteur{BC}$ et $\vecteur{CA}\cdot \vecteur{CB}$
Soient $A(0;0)$, $B(5;1)$ et $C(2;4)$
Calculer $\vecteur{AB}\cdot \vecteur{AC}$, $AB$ et $AC$
En déduire une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$.
$ABC$ est un triangle tel que $AB=7$, $BC=8$ et $AC=12$.
Calculer $\vecteur{AB}\cdot \vecteur{AC}$
En déduire une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$.
Soient $M(0;2)$, $N(2;-2)$ et $A(-3;1)$. Déterminer une mesure de $\widehat{MNA}$.
Si $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ sont colinéaires alors :
$\bullet$ $\vecteur{u} \cdot \vecteur{v} = ||\vecteur{u}|| \times ||\vecteur{v}||$ si $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ sont de même sens
$\bullet$ $\vecteur{u} \cdot \vecteur{v} = -||\vecteur{u}|| \times ||\vecteur{v}||$ si $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ sont de sens opposé
Démontrer la propriété précédente.
Dans le plan, soient une droite $(AB)$ et un point $C \not\in (AB)$. $H$, *{bold::projeté orthogonal} de $C$ sur $(AB)$, est l'intersection de $(AB)$ et de la perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$.
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts du plan et $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$. On a : $\vecteur{AB}\cdot \vecteur{AC} = \vecteur{AB}\cdot \vecteur{AH} $
On considère un carré $ABCD$ de côté $2$ et $I$ le milieu de $[AB]$. Calculer $\vecteur{AB}\cdot \vecteur{AC}$ puis $\vecteur{IC}\cdot \vecteur{BI}$
Dans le plan, un vecteur non nul $\vecteur{n}$ est *{bold::normal} à une droite $(d)$ quand il est orthogonal à un vecteur directeur de la droite $(d)$.
Dans un repère orthonormé du plan, soient deux réels $a\not= 0$ et $b\not= 0$.
$\bullet$ La droite d'équation cartésienne $ax+by+c = 0$ admet $\cvecteur{n}{a}{b}$ pour vecteur normal.
$\bullet$ Réciproquement, une droite qui a pour vecteur normal $\cvecteur{n}{a}{b}$ a pour équation cartésienne $ax+by+c = 0$.
Donner un vecteur normal à la droite :
vspace{10}
$(d_1)$ d'équation $2x-3y+5=0$
vspace{10}
$(d_2)$ d'équation $12x-3y=2$
vspace{10}
$(d_3)$ d'équation $y = 7x -3$
vspace{10}
$(d_4)$ d'équation $y = -1$
vspace{10}
$(d_5)$ d'équation $x = 5$
Déterminer une équation de la droite de vecteur normal $\vecteur{u}$ et passant par $M$ :
vspace{20}
$\cvecteur{u}{1}{3}$ et $M(2;-5)$
vspace{20}
$\cvecteur{u}{0}{2}$ et $M(-3;6)$
vspace{20}
$\cvecteur{u}{10}{0}$ et $M(2;-3)$
vspace{20}
$\cvecteur{u}{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ et $M(7;8)$
Dans un repère orthonormé du plan : $\bullet$ Le cercle $(\mathcal{C})$ de centre $A(x_A;y_A)$ et de rayon $r$ a pour équation : $(x-x_A)^2+(y-y_A)^2 = r^2$ vspace{10} $\bullet$ Le cercle $(\mathcal{C})$ de diamètre $[AB]$ est l'ensemble des points $M$ vérifiant : $\vecteur{MA}\cdot \vecteur{MB} = 0$
Soient $A(2;3)$ et $B(5;-1)$. Déterminer une équation de $(\mathcal{C})$, cercle de diamètre $[AB]$.
Soient $G(1;5)$ et $C(-2;1)$. Déterminer une équation de $(\mathcal{C})$, cercle de rayon $[GC]$.
On considère trois points $A(-1 ; 1)$, $B(2 ; 2)$ et $C(0 ; 7)$ et $B'$ le pied de la hauteur issue de $B$ dans $ABC$.
Exprimer $\vecteur{CA} \cdot \vecteur{CB}$ en fonction de $CB'$
En déduire $CB'$ puis $BB'$
Calculer l'aire de $ABC$
On considère deux vecteurs $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ tels que : $\vecteur{u} \cdot \vecteur{v} = 4$, $|| \vecteur{u} || = 3$ et $|| \vecteur{v} || = 2$.
Calculer $(\vecteur{u}+\vecteur{v})^2 - (\vecteur{u}-\vecteur{v})^2$
Calculer $||2\vecteur{u}-3\vecteur{v}||^2 + ||4\vecteur{u}+5\vecteur{v}||^2$
On considère un rectangle $ABCD$ avec $AB =5$ et $AD = 3$, $E$ un point quelconque de $[AD]$ et $F$ un point quelconque de $[BC]$. Soit $G$ un point de $[CD]$
Calculer $\vecteur{AB} \cdot \vecteur{EF}$
Exprimer $\vecteur{AB} \cdot \vecteur{EG}$ en fonction de $DG$
Exprimer $\vecteur{AD} \cdot \vecteur{GF}$ en fonction de $BF$
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}^*$ par : $\displaystyle f(x)= \frac{1}{x}$ et $\displaystyle g(x)= -\frac{1}{x}$ vspace{10} Les courbes représentatives de $f$ et $g$ admettent-elles des tangentes perpendiculaires ? Si oui, préciser lesquelles.
Déterminer les points d'intersection éventuels du cercle d'équation $(x + 5)^2 + y^2 = 9$ et de la droite : vspace{10}
$(d_1)$ d'équation $3x-y+20=0$.
vspace{10}
$(d_2)$ d'équation $3x+y=5$.
$ABCD$ est un parallélogramme avec $AB = 4$, $AD = 3$ et $AC = 6$. Calculer $\vecteur{AC} \cdot \vecteur{D A}$.
$ABCD$ est un parallélogramme avec $AB = a$ ($a \in \mathbb{R}$) et $I$ est à la fois le milieu de $[AB]$ et le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$. Calculer $\vecteur{AB} \cdot \vecteur{AC}$.
$ABCD$ est un losange de côté $4$ et vérifiant $\widehat{BAD} = 60^\circ$. Calculer $\vecteur{AB} \cdot \vecteur{AC}$.
$ABCD$ est un carré de côté $1$ et $I$ est le milieu de $[DC]$ et $J$ est le milieu de $[AD]$. Calculer $\vecteur{JI} \cdot \vecteur{BI}$.
$ABCD$ est un parallélogramme avec $AB=5$ et $BD=8$ et $\widehat{ABD} = 20^\circ$. Calculer $\vecteur{BA} \cdot \vecteur{BD}$, arrondir à $0,1$ près.
On considère un rectangle $ABCD$ tel que $AB=4$ et $AD=3$. Le point $E$ appartient à $[CB]$ tel que $EC=1$. On cherche à déterminer où placer le point $F$ de $[CD]$ tel que $(DE)$ et $(AF)$ soient perpendiculaires.
Faire une figure.
Calculer $(\vecteur{DC} + \vecteur{CE})\cdot (\vecteur{AD} + \vecteur{DF})$
En déduire que le point $F$ de $[CD]$ tel que $(DE)$ et $(AF)$ soient perpendiculaires vérifie : $DF = \dfrac{3}{4} $
On dit que la distance entre une droite $(d)$ et un point $A$ du plan est la longueur $AA'$ où $A'$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(d)$.
*{bold::Formule explicite}. On considère une droite $(d)$ d'équation $ax + by + c = 0$ et un point $A(x_A;y_A)$. $a$, $b$, $c$, $x_A$ et $y_A$ sont des réels.
Dans un repère du plan, tracer une droite $(d)$ quelconque, un point $A$ extérieur à $(d)$ et $A'(x_{A'};y_{A'})$ son projeté orthogonal sur $(d)$.
Soit $\vecteur{n}$ le vecteur normal à $(d)$. Montrer que : $|\vecteur{n} \cdot \vecteur{AA'}| = AA' \sqrt{a^2+b^2}$
Exprimer $\vecteur{n} \cdot \vecteur{AA'}$ en fonction de $a$, $b$, $x_A$, $y_A$, $x_{A'}$ et $y_{A'}$.
Justifier que $-ax_{A'} -by_{A'} = c$
En déduire que la distance entre $A$ et $(d)$ est égale à : $\displaystyle \frac{|ax_A+by_A+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

*{bold::Application}. Soit trois points $F(0 ; 6)$, $G(2 ; -1)$ et $H(-1 ; 3)$.
Déterminer une équation de $(FG)$.
En déduire la distance de $H$ à $(FG)$.
Calculer l'aire de $FGH$.
*{bold::Algorithme}. Ecrire un algorithme :
$\bullet$ demandant à l'utilisateur de rentrer les coordonnées des points $A$, $B$ et $C$.
$\bullet$ affichant la distance de $C$ à $(AB)$.
Vérifier la validité de cet algorithme en utilisant les points de la question *{bold::2}
En utilisant le produit scalaire, pour deux réels $a$ et $b$, démontrer que : $ \cos{(a-b)} = \cos{a}\cos{b}+ \sin{a}\sin{b}$
Écrire un programme en Python qui détermine le produit scalaire de deux vecteurs à partir de leur coordonnées.
Écrire un programme en Python :
$\bullet$ demandant à l'utilisateur de saisir les coordonnées de quatre points $A$, $B$, $C$ et $D$;
$\bullet$ affichant en sortie si les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires ou si elles ne le sont pas.