Dans un repère orthonormé $(O;\vecteur{OI}; \vecteur{OJ})$, le *{bold::cercle trigonométrique} $(\mathcal{C})$ est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$. Ce cercle est muni d'un sens de parcours appelé *{bold::sens direct} (sens inverse des aiguilles d'une montre).
La mesure en *{bold::radian} d'un angle correspond à la longueur de l'arc du cercle trigonométrique qu'il intercepte. La mesure en radian est *{bold::proportionnelle} à la mesure en degré. vspace{10} Pour repérer un point $M$ du cercle trigonométrique, on enroule autour du cercle un axe orienté, gradué, d’origine le point $I$. On peut alors associer, au point $M$, un réel $x$, abscisse d’un point de l’axe qui vient se superposer au point $M$.
Quand on fait un tour alors on se retrouve avec le même point sur le cercle trigonométrique. De ce fait le même point $M$ est associé aux réels $x$; $x+2\pi$ ; $x-2\pi$ ; $x+k\times 2\pi$ et $x-k\times 2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$) &
mark({dx: 4,dy: 4,axes: false}) //grid(0) circle(0,0,4) point('sqrt(2)/2','sqrt(2)/2','M(x)') dash(0) line(0,0,'sqrt(2)/2','sqrt(2)/2') arrow('->') line(0,0,1,0) line(0,0,0,1) arc(0,0,1.5,0,45) arc(0.5,0.5,2.8,30,55) math('\\alpha',0.4,0.25,{fontSize: '12pt'}) math('x',1,0.45,{fontSize: '12pt'}) math('O',-0.1,-0.01,{fontSize: '12pt'}) math('I',1.05,0.05,{fontSize: '12pt'}) math('J',0,1.12,{fontSize: '12pt'}) math('+','1.5*sqrt(2)/2','1.5*sqrt(2)/2',{fontSize: '12pt'}) math('\\widehat{IOM} = \\alpha','0.2','-0.1',{fontSize: '12pt'})
Convertir $ \frac{\pi}{5}$, $ \frac{5\pi}{2}$ et $ \frac{-\pi}{4}$ en degré puis les placer sur le cercle trigonométrique.
Placer sur le cercle trigonométrique $ -\frac{\pi}{3}$, $ -\frac{\pi}{2}$, $ \frac{11\pi}{8}$, $ -\frac{5\pi}{8}$ et $ \frac{17\pi}{6}$.
Soit un point $A$ du cercle trigonométrique associé au nombre $-\dfrac{\pi}{2}$. Donner quatre autres nombres qui correspondent au même point $A$.
Soient deux vecteurs $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$. Soient deux points $M$ et $N$ du cercle trigonométrique tels que : $\vecteur{OM}$ et $\vecteur{u}$ sont colinéaires et de même sens et $\vecteur{ON}$ et $\vecteur{v}$ sont colinéaires et de même sens. L'angle orienté, noté $(\vecteur{u},\vecteur{v})$, entre $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ correspond à l'angle formé entre les demi-droites $[OM)$ et $[ON)$.
Un angle orienté à une infinité de mesures différentes en effet pour $k \in \mathbb{Z}$ : $(\vecteur{u},\vecteur{v}) = (\vecteur{u},\vecteur{v}) + k\times 2\pi$ vspace{10} L'angle orienté $(\vecteur{u},\vecteur{v})$ a une *{bold::unique} mesure $\alpha$ dans l'intervalle $]-\pi;\pi]$ appelée *{bold::mesure principale}. On a donc pour $k \in \mathbb{Z}$ : $(\vecteur{u},\vecteur{v}) = \alpha+ k\times 2\pi$ et pour simplifier $(\vecteur{u},\vecteur{v}) = \alpha$
Sur le cercle trigonométrique, placer les points $A$, $B$, $C$ et $D$ tels que $\displaystyle (\vecteur{OI},\vecteur{OA}) = \frac{-\pi}{4}$, $\displaystyle (\vecteur{OA},\vecteur{OB}) = \frac{12\pi}{4}$, $\displaystyle (\vecteur{OA},\vecteur{OC}) = \frac{\pi}{2}$ et $\displaystyle (\vecteur{OC},\vecteur{OD}) = -\frac{21\pi}{2}$.
Déterminer la mesure principale des angles orientés $ -\frac{7\pi}{5}$, $ -\frac{18\pi}{4}$, $ \frac{4\pi}{3}$, $ -\frac{7\pi}{10}$, $ -\frac{21\pi}{4}$, $ \frac{37\pi}{7}$, $ -\frac{2\pi}{3}$ et $ \frac{23\pi}{10}$.
Tracer un carré $ABCD$ de centre $O$ puis donner une mesure des angles orientés $\displaystyle (\vecteur{OA},\vecteur{OA})$, $\displaystyle (\vecteur{OA},\vecteur{OC})$, $\displaystyle (\vecteur{OB},\vecteur{OA})$, $\displaystyle (\vecteur{AO},\vecteur{AD})$, $\displaystyle (\vecteur{CB},\vecteur{CD})$ et $\displaystyle (\vecteur{CA},\vecteur{CB})$
,, $(\vecteur{u},\vecteur{v}) = -(\vecteur{u},\vecteur{v})$ & ,, $(-\vecteur{u},-\vecteur{v}) = (\vecteur{u},\vecteur{v})$ || ,, $(-\vecteur{u},\vecteur{v}) = (\vecteur{u},\vecteur{v}) + \pi$ & ,, $(\vecteur{u},-\vecteur{v}) = (\vecteur{u},\vecteur{v}) + \pi$ || ,, $(k\vecteur{u},k'\vecteur{v}) = (\vecteur{u},\vecteur{v})$ si $kk' > 0$ & ,, $(k\vecteur{u},k'\vecteur{v}) = (\vecteur{u},\vecteur{v}) + \pi$ si $kk' < 0$
Soient trois vecteurs $\vecteur{u}$, $\vecteur{v}$ et $\vecteur{w}$ non nuls : $(\vecteur{u},\vecteur{v}) + (\vecteur{v},\vecteur{w}) = (\vecteur{u},\vecteur{w}) $
Deux vecteurs $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ sont colinéaires si et seulement si $(\vecteur{u},\vecteur{v})=0$ ou $(\vecteur{u},\vecteur{v}) = \pi$.
Soit $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points tels que $\displaystyle (\vecteur{AB},\vecteur{AC}) = -\frac{\pi}{5}$ et $\vecteur{BD} = -2\vecteur{AC}$ Donner la mesure principale des angles orientés :
$\displaystyle (\vecteur{BA},\vecteur{AC})$, $\displaystyle (\vecteur{AC},\vecteur{BA})$, $\displaystyle (\vecteur{AC},\vecteur{AB})$ et $\displaystyle (\vecteur{AB},\vecteur{CA})$.
$\displaystyle (\vecteur{AC},\vecteur{BD})$ et $\displaystyle (\vecteur{AB},\vecteur{BD})$
On se place dans un repère orthonormé $(O;\vecteur{OI}; \vecteur{OJ})$. Soit $M$ un point sur le cercle trigonométrique tel que $(\vecteur{OI},\vecteur{OM}) = x$ ($x$ est donc la mesure principale de l'angle vecteur $(\vecteur{OI},\vecteur{OM}) $) alors : $M\Big(\cos{(x)};\sin{(x)}\Big)$ ou $M\Big(\cos{x};\sin{x}\Big)$ ou encore
$M\Big(\cos{(\alpha)};\sin{(\alpha)}\Big)$ ou $M\Big(\cos{\alpha};\sin{\alpha}\Big)$ vspace{20} Pour $x \in \mathbb{R}$ et $k \in \mathbb{Z}$ : vspace{5} ,, $(\cos{x})^2 + (\sin{x})^2 = 1$ vspace{5} ,, $-1 \leqslant \cos{x} \leqslant 1 $ et $-1 \leqslant \sin{x} \leqslant 1 $ vspace{5} ,, $\cos{(x + k\times 2 \pi)} = \cos{x}$ et $\sin{(x + k\times 2 \pi)} = \sin{x}$ vspace{10} ,, $\tan{(x)} = \dfrac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}$ &
mark({dx: 3,dy: 3,axes: false}) //grid(0) circle(0,0,3) point('sqrt(2)/2','sqrt(2)/2','M') dash(4) down('sqrt(2)/2') line('sqrt(2)/2','sqrt(2)/2',0,'sqrt(2)/2') dash(0) line(0,0,'sqrt(2)/2','sqrt(2)/2') arrow('->') line(0,0,1,0) line(0,0,0,1) arc(0,0,1.5,0,45) math('\\cos{(x)}','sqrt(2)/2-0.25',0,{fontSize: '11pt'}) math('\\sin{(x)}',-0.4,'sqrt(2)/2+0.08',{fontSize: '11pt'}) math('\\alpha',0.47,0.34,{fontSize: '12pt'}) math('O',-0.1,-0.01,{fontSize: '12pt'}) math('I',1.05,0.05,{fontSize: '12pt'}) math('J',0,1.15,{fontSize: '12pt'}) line(1,-3,1,3) math('\\widehat{IOM} = \\alpha','0.15','-0.2',{fontSize: '12pt'}) color('#ff0000') arrow('-') arc(0,0,3,0,45) line(1,0,1,'pi/4') math('x',0.85,0.7,{fontSize: '12pt'})
Démontrer que $(\cos{x})^2 + (\sin{x})^2 = 1$.
Soient $A$ et $B$ tels que $\displaystyle (\vecteur{OI},\vecteur{OA}) = -\frac{3\pi}{4}$ et $\displaystyle (\vecteur{OB},\vecteur{OA}) = \frac{\pi}{5}$. Donner les coordonnées de $A$ et $B$.
Démontrer que $\displaystyle \cos{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2}$.
Calculer $\displaystyle \sin{\frac{\pi}{3}}$.
Démontrer que $\displaystyle \cos{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
mark({dx: 3,dy: 3,axes: false}) //grid(0) circle(0,0,3) point('1','0',{name: 'M',left: 0.05,top: 0.05}) dash(0) arrow('->') line(0,0,1,0) line(0,0,0,1) math('O',-0.1,-0.01,{fontSize: '12pt'}) math('I',1.05,0.05,{fontSize: '12pt'}) math('J',0,1.2,{fontSize: '12pt'}) math('\\widehat{IOM} = 0^\\circ','-0.45','-0.35',{fontSize: '12pt'}) math('x = 0','-0.18','-0.65',{fontSize: '12pt'})
$\cos{(0)} = 1$ ; $\sin{(0)} = 0$ &
mark({dx: 3,dy: 3,axes: false}) //grid(0) circle(0,0,3) point('sqrt(3)/2','1/2','M') dash(4) down('1/2') line('sqrt(3)/2','1/2',0,'1/2') dash(0) line(0,0,'sqrt(3)/2','1/2') arrow('->') line(0,0,1,0) line(0,0,0,1) arc(0,0,1.5,0,30) math('\\cos{(x)}','sqrt(3)/2-0.25',-0.05,{fontSize: '11pt'}) math('\\sin{(x)}',-0.4,'1/2+0.08',{fontSize: '11pt'}) math('30^\\circ',0.53,0.24,{fontSize: '12pt'}) math('O',-0.1,-0.01,{fontSize: '12pt'}) math('I',1.05,0.05,{fontSize: '12pt'}) math('J',0,1.2,{fontSize: '12pt'}) math('\\widehat{IOM} = 30^\\circ','-0.45','-0.30',{fontSize: '12pt'}) math('x = \\dfrac{\\pi}{6}','-0.18','-0.60',{fontSize: '12pt'}) color('#ff0000') arrow('-') math('x',1.02,0.32,{fontSize: '12pt'})
$\cos{(\frac{\pi}{6})} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ; $\sin{(\frac{\pi}{6})} = \dfrac{1}{2}$ &
mark({dx: 3,dy: 3,axes: false}) //grid(0) circle(0,0,3) point('sqrt(2)/2','sqrt(2)/2','M') dash(4) down('sqrt(2)/2') line('sqrt(2)/2','sqrt(2)/2',0,'sqrt(2)/2') dash(0) line(0,0,'sqrt(2)/2','sqrt(2)/2') arrow('->') line(0,0,1,0) line(0,0,0,1) arc(0,0,1.5,0,45) math('\\cos{(x)}','sqrt(2)/2-0.25',0,{fontSize: '11pt'}) math('\\sin{(x)}',-0.4,'sqrt(2)/2+0.08',{fontSize: '11pt'}) math('45^\\circ',0.47,0.34,{fontSize: '12pt'}) math('O',-0.1,-0.01,{fontSize: '12pt'}) math('I',1.05,0.05,{fontSize: '12pt'}) math('J',0,1.2,{fontSize: '12pt'}) math('\\widehat{IOM} = 45^\\circ','-0.45','-0.30',{fontSize: '12pt'}) math('x = \\dfrac{\\pi}{4}','-0.18','-0.60',{fontSize: '12pt'}) color('#ff0000') arrow('-') math('x',0.95,0.5,{fontSize: '12pt'})
$\cos{(\frac{\pi}{4})} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ; $\sin{(\frac{\pi}{4})} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ||
mark({dx: 3,dy: 3,axes: false}) //grid(0) circle(0,0,3) point('1/2','sqrt(3)/2','M') dash(4) down('sqrt(3)/2') line('1/2','sqrt(3)/2',0,'sqrt(3)/2') dash(0) line(0,0,'1/2','sqrt(3)/2') arrow('->') line(0,0,1,0) line(0,0,0,1) arc(0,0,1.5,0,60) math('\\cos{(x)}','1/2-0.25',-0.05,{fontSize: '11pt'}) math('\\sin{(x)}',-0.4,'sqrt(3)/2+0.08',{fontSize: '11pt'}) math('60^\\circ',0.22,0.22,{fontSize: '12pt'}) math('O',-0.1,-0.01,{fontSize: '12pt'}) math('I',1.05,0.05,{fontSize: '12pt'}) math('J',0,1.2,{fontSize: '12pt'}) math('\\widehat{IOM} = 60^\\circ','-0.45','-0.30',{fontSize: '12pt'}) math('x = \\dfrac{\\pi}{3}','-0.18','-0.60',{fontSize: '12pt'}) color('#ff0000') arrow('-') math('x',0.95,0.52,{fontSize: '12pt'})
$\cos{(\frac{\pi}{3})} = \dfrac{1}{2}$ ; $\sin{(\frac{\pi}{3})} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ &
mark({dx: 3,dy: 3,axes: false}) //grid(0) circle(0,0,3) point('0','1',{name: 'M',top: -0.2}) dash(4) down('1') line('0','1',0,'1') dash(0) line(0,0,'0','1') arrow('->') line(0,0,1,0) line(0,0,0,1) arc(0,0,1.5,0,90) math('\\cos{(x)}','-0.25',-0.13,{fontSize: '11pt'}) math('\\sin{(x)}',-0.45,'1+0.12',{fontSize: '11pt'}) math('90^\\circ',0.42,0.53,{fontSize: '12pt'}) math('O',-0.1,-0.01,{fontSize: '12pt'}) math('I',1.05,0.05,{fontSize: '12pt'}) math('J',0,1.2,{fontSize: '12pt'}) math('\\widehat{IOM} = 90^\\circ','-0.45','-0.30',{fontSize: '12pt'}) math('x = \\dfrac{\\pi}{2}','-0.18','-0.60',{fontSize: '12pt'}) color('#ff0000') arrow('-') math('x',0.85,0.75,{fontSize: '12pt'})
$\cos{(\frac{\pi}{2})} = 0$ ; $\sin{(\frac{\pi}{2})} = 1$ &
mark({dx: 3,dy: 3,axes: false}) //grid(0) circle(0,0,3) point('-1','0',{name: 'M',top: -0.15}) dash(4) //down('1') //line('0','1',0,'1') dash(0) line(0,0,'-1','0') arrow('->') line(0,0,1,0) line(0,0,0,1) arc(0,0,1.5,0,180) //math('\\cos{(x)}','-0.25',-0.13,{fontSize: '11pt'}) //math('\\sin{(x)}',-0.45,'1+0.12',{fontSize: '11pt'}) math('180^\\circ',-0.3,0.65,{fontSize: '12pt'}) math('O',-0.1,-0.01,{fontSize: '12pt'}) math('I',1.05,0.05,{fontSize: '12pt'}) math('J',0,1.2,{fontSize: '12pt'}) math('\\widehat{IOM} = 180^\\circ','-0.45','-0.30',{fontSize: '12pt'}) math('x = \\pi','-0.18','-0.60',{fontSize: '12pt'}) color('#ff0000') arrow('-') math('x',-0.15,1.15,{fontSize: '12pt'})
$\cos{(\pi)} = -1$ ; $\sin{(\pi)} = 0$
On se place dans un repère orthonormé $(O;I; J)$. Soit $M$ un point sur le cercle trigonométrique associé au nombre $\dfrac{\pi}{6}$ : $\dfrac{\pi}{6}$ est la longueur de l'arc de cercle de $I$ à $M$. On note $\alpha = \widehat{IOM}$. On pose $A(\cos{(\frac{\pi}{6})};0)$ et $B(0;\sin{(\frac{\pi}{6})})$. vspace{10}
Faire une figure.
Donner la mesure de $\alpha$ en degré.
Démontrer que $OA = BM$
Démontrer que $OMJ$ est un triangle isocèle.
Démontrer que $\widehat{MOJ} = 60^\circ$
Démontrer que $OMJ$ est un triangle équilatéral.
Que dire de la droite $(BM)$ dans le triangle $OMJ$ ?
En déduire que $B$ est le milieu de $[OJ]$. Donner la longueur $OB$.
Calculer la longueur $BM$.
Déduire des questions précédentes les valeurs exactes de $\sin{(\frac{\pi}{6})}$ et $\cos{(\frac{\pi}{6})}$
Soit $x \in \mathbb{R}$ :
,, $\cos{(-x)} = \cos{x}$ & ,, $\sin{(-x)} = -\sin{x}$ || ,, $\cos{(\pi-x)} = -\cos{x}$ & ,, $\sin{(\pi-x)} = \sin{x}$ || ,, $\cos{(\pi+x)} = -\cos{x}$ & ,, $\sin{(\pi+x)} = -\sin{x}$ || ,, $\displaystyle \cos{\Big(\frac{\pi}{2}-x\Big)} = \sin{x}$ & ,, $\displaystyle \sin{\Big(\frac{\pi}{2}-x\Big)} = \cos{x}$ || ,, $\displaystyle \cos{\Big(\frac{\pi}{2}+x\Big)} = -\sin{x}$ & ,, $\displaystyle \sin{\Big(\frac{\pi}{2}+x\Big)} = \cos{x}$
Calculer $\displaystyle \cos{\frac{-\pi}{3}}$, $\displaystyle \cos{\frac{4\pi}{3}}$, $\displaystyle \sin{\frac{\pi}{6}}$ et $\displaystyle \sin{\frac{5\pi}{6}}$
Calculer $\displaystyle \cos{\frac{3\pi}{4}}$, $\displaystyle \cos{\frac{-3\pi}{4}}$, $\displaystyle \sin{\frac{-\pi}{4}}$ et $\displaystyle \sin{\frac{3\pi}{4}}$
Soit $a \in \mathbb{R}$ et $b \in \mathbb{R}$ :
,, $\cos{(a+b)} = \cos{a}\cos{b} - \sin{a}\sin{b}$ & ,, $\sin{(a+b)} = \sin{a}\cos{b} + \sin{b}\cos{a}$ || ,, $\cos{(a-b)} = \cos{a}\cos{b} + \sin{a}\sin{b}$ & ,, $\sin{(a-b)} = \sin{a}\cos{b} - \sin{b}\cos{a}$ || ,, $\cos{(2a)} = \cos^2{a} - \sin^2{a}$ & ,, $\sin{(2a)} = 1\sin{a} \cos{a}$ || ,, $\cos{(2a)} = 2\cos^2{a} - 1$ & ,, $\cos{(2a)} = 1 - 2\sin^2{a}$
Calculer $\cos{(2x)}$ quand $\displaystyle \cos{x} = -\frac{1}{4}$
Calculer $\cos{(2x)}$ quand $\displaystyle \sin{x} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Calculer $\sin{(2x)}$ quand $\displaystyle \sin{x} = \frac{1}{3}$ et $\displaystyle x \in \Big]\frac{\pi}{2};\pi\Big[$
Calculer $\sin{(2x)}$ quand $\displaystyle \sin{x} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ et $\displaystyle x \in \Big]-\frac{\pi}{2};0\Big[$
Exprimer en fonction de $\cos{x}$ et $\sin{x}$, $\displaystyle \cos{\Big(x+ \frac{\pi}{4} \Big)} + \sin{\Big(x+ \frac{\pi}{4} \Big)}$
Exprimer en fonction de $\cos{x}$ et $\sin{x}$, $\displaystyle \sin{\Big(\frac{\pi}{3} + x \Big)} - \sin{\Big( \frac{\pi}{3} - x \Big)}$
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\displaystyle \cos{x} = \cos{\Big( \frac{\pi}{4}\Big)}$. Puis préciser les solutions contenues dans l'intervalle $]0;2\pi]$.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\displaystyle \cos{x} = \frac{1}{2}$. Puis préciser les solutions contenues dans l'intervalle $]-\pi;\pi]$.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\displaystyle \sin{x} = \sin{\Big( -\frac{\pi}{8}\Big)}$ puis dans l'intervalle $]0;4\pi]$.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\displaystyle \sin{x} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ puis dans l'intervalle $]-\pi;\pi]$.
Résoudre dans $]-\pi;\pi]$ l'inéquation $\displaystyle \cos{x} \geqslant 0$. Représenter sur le cercle trigonométrique ces solutions.
Résoudre dans $]-\pi;\pi]$ l'inéquation $\displaystyle \sin{x} > \frac{\sqrt{2}}{2}$. Représenter sur le cercle trigonométrique ces solutions.
Résoudre dans $]-\pi;\pi]$ l'inéquation $\displaystyle \sin{x} \leqslant \frac{1}{2}$. Représenter sur le cercle trigonométrique ces solutions.
Soient $A$ et $B$ deux points du plan tels que $AB=4\;cm$.
Construire le point $C$ tel que $\displaystyle (\vecteur{AB},\vecteur{AC}) = \frac{\pi}{4}$ et $AB = AC$.
Construire le point $D$ tel $ACD$ soit un triangle équilatéral et $\displaystyle (\vecteur{CA},\vecteur{CD}) = \frac{\pi}{3}$.
Construire le point $E$ tel que $\displaystyle (\vecteur{DE},\vecteur{DC}) = \frac{11\pi}{12}$ et $DE=3\; cm$.
Démontrer que les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont parallèles.
Construire le point $F$ tel que $A$, $F$ et $C$ soient alignés et $\displaystyle (\vecteur{BF},\vecteur{CD}) = \frac{5\pi}{12}$.
Démontrer yes les droites $(AB)$ et $(BF)$ sont perpendiculaires.
Soit $A$,$B$,$C$ et $D$ des points du plan tels que : $\displaystyle (\vecteur{AB},\vecteur{AC}) = \frac{\pi}{6}$ et $\displaystyle (\vecteur{AC},\vecteur{AD}) = \frac{\pi}{3}$. Démontrer que le triangle $ABD$ est rectangle.
Pour tout nombre réel $x$, calculer : $\displaystyle (\cos{x}+\sin{x})^2 + (\cos{x}-\sin{x})^2$
Résoudre dans $\mathbb{R}$, les systèmes d'inéquations suivants :
$\left\{\begin{array}{lcl} \cos{x} & \geqslant & \displaystyle \frac{1}{2} \\[4mm] \sin{x} & \leqslant & \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{array} \right. $
$\left\{\begin{array}{lcl} \cos{x} & \leqslant & \displaystyle 0 \\[4mm] \sin{x} & \geqslant & \displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{array} \right. $
Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $ (\sin{(2x)}+1)(2\cos{x} + \sqrt{2}) = 0$
Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points tels que : $\displaystyle (\vecteur{CB},\vecteur{CA}) = \frac{\pi}{3}$ et $\displaystyle (\vecteur{BC},\vecteur{BA}) = \frac{\pi}{2}$. vspace{10} Montrer que les points $A$, $C$ et $D$ sont alignés.
Résoudre dans $]-\pi;\pi]$ les équations suivantes et placer les solutions sur le cercle trigonométrique :
$\displaystyle \cos{(2x)} = -\frac{1}{2}$
$\displaystyle \sin{(2x)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle \cos{(2x)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
vspace{10}
Démontrer que $\displaystyle \cos{\Big( \frac{\pi}{4}\Big)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ en déduire que $\displaystyle \sin{\Big( \frac{\pi}{4}\Big)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Démontrer que $\displaystyle \cos{\Big( \frac{\pi}{3}\Big)} = \frac{1}{2}$ en déduire que $\displaystyle \sin{\Big( \frac{\pi}{6}\Big)} = \frac{1}{2}$ et que $\displaystyle \cos{\Big( \frac{\pi}{6}\Big)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
vspace{10}
L'objectif est de résoudre le système d'équations dans $]-\pi;\pi]$ : $$\left\{\begin{array}{lcl} \cos{(3x)} & = & 1 \\ \sin{(3x)} & = & 0 \\ \end{array} \right. $$ vspace{15}
Méthode $n^\circ 1$ :
Montrer que les solutions de l'équation $\cos{(3x)} = 1$ dans $\mathbb{R}$ s'écrivent : $\displaystyle x = \frac{2k\pi}{3}$ avec $k \in \mathbb{Z}$
Montrer que les solutions de l'équation $\sin{(3x)} = 0$ dans $\mathbb{R}$ s'écrivent : $\displaystyle x = \frac{k\pi}{3}$ avec $k \in \mathbb{Z}$
En déduire les solutions du système d'équations initial.
vspace{25}
Méthode $n^\circ 2$ :
En utilisant les formules d'addition, montrer l'égalité suivante :
$\displaystyle \cos{(3x)}=4\cos^3{(x)}-3\cos{(x)}$ quel que soit $x$ réel.
Montrer que l'équation $\cos{3x} = 1$ est équivalente à $4X^3-3X-1=0$ en posant $X=\cos{(x)}$ ($X \in [-1 ; 1]$).
Montrer que pour tout nombre réel $X$ :
$4X^3-3X-1=(X-1)(4X^2+4X+1)$
En déduire les solutions de l'équation : $4X^3-3X-1=0$ et conclure sur les solutions de l'équation : $\cos{(3x)}=1$ dans $]-\pi;\pi]$.
Vérifier que les solutions trouvées en *{bold::(d)} sont également solutions de $\sin{(3x)} = 0$.
vspace{25}
Représentation graphique :
Placer sur le cercle trigonométrique les réels solutions du système. On les notera $I$,$A$ et $B$.
Quelle est la nature du triangle $IAB$ ? Justifier.