Un *{bold::vecteur} $\vecteur{u}$ est associé à une translation.
Le point $B$ est le symétrique du point $A$ par la translation de vecteur $\vecteur{u}$ quand $\vecteur{AB} = \vecteur{u}$ c'est à dire :
,, les vecteurs $\vecteur{AB}$ et $\vecteur{u}$ ont même longueur. On parle de *{bold::norme} pour un vecteur et on note $AB = \norme{AB} = \norme{u} $
,, les vecteurs $\vecteur{AB}$ et $\vecteur{u}$ ont la même direction c'est à dire qu'ils sont portés par deux droites parallèles.
,, les vecteurs $\vecteur{AB}$ et $\vecteur{u}$ ont le même sens. & dash(4) line(0,70,400,180) line(0,29,400,139) point(150,70,'A') point('lastX+80','lastY+22',{name: 'B'}) dash(0) width(4) vector2Points('A','B') width(4) arrow('->') line(40,81,120,103) math('\\vecteur{u}',80,65,{fontSize: '12pt', alpha: 15}) math('\\vecteur{AB}',180,45,{fontSize: '12pt', alpha: 15})
Le vecteur associé à la translation qui transforme un point en lui-même est le *{bold::vecteur nul} que l'on note $\vecteur{0}$.
$\vecteur{0} = \vecteur{AA} = \vecteur{MM}$
Le vecteur $\vecteur{BA}$ associé à la translation qui transforme $B$ en $A$ est le *{bold::vecteur opposé} à $\vecteur{AB}$.
$\vecteur{BA} = -\vecteur{AB}$ ou $\vecteur{BA} + \vecteur{AB} = \vecteur{0}$
$\vecteur{AB} = \vecteur{CD}$ si et seulement si $ABCD$ est un parallélogramme.
$\vecteur{AI} = \vecteur{IB}$ si et seulement si $I$ est le milieu du segment $[AB]$.
Soit $2$ parallélogrammes $ABCD$ et $DCEF$.
Faire une figure.
Démonter que $\vecteur{AB} = -\vecteur{EF}$
Soient $6$ points $G$ , $H$, $I$, $J$, $K$ , $L$ tel que $\vecteur{GH} = \vecteur{JI}$ et $\vecteur{IJ} = -\vecteur{KL}$.
Faire une figure.
Donner tous les parallélogrammes présents. Justifier.
Soit $O$ milieu de $[AB]$ et le point $D$ est le symétrique du point $C$ par rapport à $O$.
Faire une figure.
Démontrer que $\vecteur{AC} = \vecteur{DB} $ ou que $\vecteur{AD} = \vecteur{CB} $
Soit le point $A$ tel que $\vecteur{AB} = - \vecteur{AC}$. Faire une figure puis indiquer la position du point $A$. Justifier.
Soit le point $M$ tel que $\vecteur{ME} + \vecteur{MF} = \vecteur{0}$. Faire une figure puis indiquer la position du point $M$. Justifier.
Addition & Relation de Chasles & Propriété du parallélogramme || Soient $\vecteur{AB}$ et $\vecteur{CD}$ $2$ vecteurs : vspace{5} $\bullet$ $\vecteur{AB} + \vecteur{CD} = \vecteur{CD} + \vecteur{AB}$ vspace{2} $\bullet$ $\vecteur{AB} + \vecteur{0} = \vecteur{AB}$ & Soient $A$, $B$ et $C$ trois points
alors : $\vecteur{AB} + \vecteur{BC} = \vecteur{AC}$ & Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points.
$ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\vecteur{AD} = \vecteur{AB} + \vecteur{AC}$
Démontrer la propriété du parallélogramme.
Dans un repère d'origine $O$, le point $M$ a pour coordonnées $(a;b)$ alors le vecteur $\vecteur{u} = \vecteur{OM}$ a les mêmes coordonnées que le point $M$ et on note : $\cvecteur{u}{a}{b}$
Deux vecteurs $\cvecteur{u}{a_1}{b_1}$ et $\cvecteur{v}{a_2}{b_2}$ sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées c'est à dire $a_1 = a_2$ *{tdu::et} $b_1=b_2$.
Dans un repère, $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ alors : $\cvecteur{AB}{x_B-x_A}{y_B-y_A}$
Dans un repère orthonormé, on a $A(1;2)$ , $B(5,6)$ , $C(8;9)$ et $D(10;67)$ :
Placer ces $4$ points.
Démontrer que $ABCD$ est un parallélogramme.
Donner les coordonnées de $\vecteur{AD}$ puis $\vecteur{BC}$ .
Dans un repère orthonormé, on a $A(1;2)$ , $B(5,6)$ , $C(8;9)$ :
Placer ces $3$ points.
Placer un point $D$ pour que $ABCD$ est un parallélogramme.
Donner les coordonnées de $\vecteur{CD}$.
Donner les coordonnées de $\vecteur{AD}$ puis de $\vecteur{BC}$ .
Si $\cvecteur{u}{x}{y}$ dans un repère orthonormé alors $\norme{u} = \sqrt{x^2+y^2}$
Calculer la norme des vecteurs :
$\cvecteur{u}{-1}{4}$
&
$\vecteur{AB}$ avec $A(-1;8)$ et $B(6;12)$.
&
$\cvecteur{w}{-\frac{1}{3}}{1}$
Soient deux vecteurs $\cvecteur{u}{a_1}{b_1}$ et $\cvecteur{v}{a_2}{b_2}$ et $\vecteur{w} = \vecteur{u} + \vecteur{v}$ alors $\cvecteur{w}{a_1+a_2}{b_1+b_2}$
Soit un vecteur $\cvecteur{u}{a_1}{b_1}$ et $\lambda$ un réel et $\vecteur{w} = \lambda \vecteur{u}$ alors $\cvecteur{w}{\lambda \times a_1}{\lambda \times b_1}$
Soit deux vecteurs $\vecteur{AB}$ et $\vecteur{CD}$ et $\lambda$ un réel tels que $\vecteur{AB} = \lambda \vecteur{CD}$ alors : vspace{2} $\bullet$ Si $\lambda > 0$ alors $\vecteur{AB}$ et $\vecteur{CD}$ ont le même sens et $AB = \lambda CD$ vspace{2} $\bullet$ Si $\lambda < 0$ alors $\vecteur{AB}$ et $\vecteur{CD}$ sont de sens contraire et $AB = -\lambda CD$
Soient $\cvecteur{AB}{2}{3}$ et $\cvecteur{BC}{5}{-3}$. Déterminer les coordonnées de $\vecteur{AB} - 2 \vecteur{BC}$.
Soient $E(-1;2)$; $F(2;-3)$ et $G(-3;4)$. Déterminer les coordonnées de $2\vecteur{EF} - 3 \vecteur{FG}$.
Deux vecteurs non nuls $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ sont *{bold::colinéaires} quand il existe un réel $k$ tel que $\vecteur{u} = k\vecteur{v}$
Soient deux vecteurs $\cvecteur{u}{x}{y}$ et $\cvecteur{v}{x'}{y'}$ vspace{2} $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont *{bold::proportionnelles} c'est à dire $xy' = x'y$ ou $xy' - x'y = 0$. C'est les produits en croix des coordonnés de $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$.
Déterminer si les vecteurs $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ sont colinéaires. Si oui, déterminer le réel $k$ tel que $\vecteur{u} = k\vecteur{v}$ ($a$ et $b$ sont deux réels) :
$\cvecteur{u}{3}{-2}$ et $\cvecteur{v}{-11}{5}$
&
$\cvecteur{u}{\displaystyle \frac{5}{2}}{3}$ et $\cvecteur{v}{\displaystyle \frac{15}{4}}{\displaystyle \frac{9}{2}}$
||
$\cvecteur{u}{-\sqrt{2}}{-3}$ et $\cvecteur{v}{-2}{-3\sqrt{2}}$
Les vecteurs $\vecteur{AB}$ et $\vecteur{CD}$ sont colinéaires si et seulement si les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
Tracer les droites $(AB)$ et $(CD)$ puis déterminer si elles sont parallèles :
$A(3;-2)$ , $B(-1;-1)$ , $C(-3;2)$ et $D(1;3)$
&
$A(-9;-2)$ , $B(1;-3)$ , $C(3;-2)$ et $D(1;-3)$
||
$A(-1;2)$ , $B(-1;3)$ , $C(3;2)$ et $D(4;2)$
&
$A(2;5)$ , $B(-1;3)$ , $C(3;1)$ et $D(0;-1)$
Les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $\vecteur{AB}$ et $\vecteur{AC}$ sont colinéaires.
Déterminer si les points sont alignés:
$\displaystyle F\Big(\frac{2}{3};1\Big)$ , $\displaystyle G\Big(-2;\frac{1}{3}\Big)$ ,et $H(5;2)$
&
$B(0;0)$ , $C(\sqrt{2};\sqrt{6})$ et $D(4;4\sqrt{3})$
||
$E(1;2)$ , $F(-3;8)$ et $G(3;-1)$
&
$A(-9;4)$ , $B(1;-1)$ et $C(4;-2)$
||
$A(-4;4)$ , $T(-4;-6)$ et $P(-3;2)$
&
$C(\pi;\pi)$ , $D(1;2-\pi)$ et $H(\pi-4;\pi-2)$
Un vecteur $\vecteur{u}$ est un vecteur *{bold::directeur} de la droite $(AB)$ quand les vecteurs $\vecteur{u}$ et $\vecteur{AB}$ sont colinéaires.
Deux droites sont parallèles si et seulement si un vecteur directeur de l'une est colinéaire à un vecteur directeur de l'autre.
Soient $A(3;2)$ et $B(6;3)$. Tracer $(AB)$.
&
Donner $3$ vecteurs directeurs de la droite $(AB)$.
||
Placer $C(1,0)$
&
Placer un point $D$ pour que $(AB)$ et $(CD)$ soient parallèles.
||
Donner $3$ vecteurs directeurs de la droite $(CD)$.
,, Soit $a$ et $b$ deux réels. Le vecteur $\cvecteur{u}{1}{a}$ est un vecteur directeur de la droite d'équation $y=ax+b$ avec $a$ qui est le *{bold::coefficient directeur} de cette droite.
,, Soit $k$ un réel. Le vecteur $\cvecteur{u}{0}{1}$ est un vecteur directeur de la droite verticale d'équation $x=k$
vspace{5}
Déterminer l'équation d'une droite de vecteur directeur $\cvecteur{u}{1}{-3}$ et passant par $A(3;5)$.
Déterminer l'équation d'une droite de vecteur directeur $\cvecteur{u}{0}{1}$ et passant par $B(2;3)$.
Déterminer l'équation d'une droite de vecteur directeur $\cvecteur{u}{1}{0}$ et passant par $C(-1;-1)$.
Déterminer l'équation d'une droite de vecteur directeur $\cvecteur{u}{0}{-5}$ et passant par $D(1;1)$.
Déterminer l'équation d'une droite de vecteur directeur $\cvecteur{u}{2}{8}$ et passant par $E(3;0)$.
Déterminer l'équation d'une droite de vecteur directeur $\cvecteur{u}{-3}{9}$ et passant par $F(6;-3)$.
Déterminer l'équation d'une droite de vecteur directeur $\cvecteur{u}{-3}{-2}$ et passant par $G(0;-2)$.
,, Soit $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ deux points tels que $x_A \not= x_B$. Le vecteur $\cvecteur{u}{1}{\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}$ est un vecteur directeur de la droite $(AB)$ d'équation réduite : vspace{20} $y=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}x+\dfrac{x_By_A - y_Bx_A}{x_B-x_A}$ avec $\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ qui est *{bold::le coefficient directeur} de la droite $(AB)$. vspace{20} ,, Soit $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ deux points tels que $x_A = x_B$. Le vecteur $\cvecteur{u}{0}{x_A}$ est un vecteur directeur de la droite verticale d'équation $x=x_A$
Deux droites non-verticales sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
Déterminer l'équation d'une droite de vecteur directeur $\cvecteur{u}{1}{-3}$ et passant par $A(3;5)$.
Déterminer l'équation d'une droite de vecteur directeur $\cvecteur{u}{2}{8}$ et passant par $B(1;-2)$.
On considère les points $A(2;3)$ ; $B(4;7)$ et $C(4;7)$ . Tracer $(AB)$ puis déterminer son équation réduite. Déterminer une équation réduite de la droite parallèle à $(AB)$ et passant par $C$, la tracer.
Dans un repère orthonormé, on a $E(-2;3)$ et $F(-2;-1)$. Tracer $(EF)$ puis déterminer son équation réduite.
Une équation d'une droite $(d)$ de la forme $ax+by+c = 0$ est appelée une *{bold::équation cartésienne} de $(d)$.
,, Soit $A$ un point et $\vecteur{u}$ un vecteur non nul et $(d)$ la droite de vecteur directeur $\vecteur{u}$ et passant par $A$. Un point $M$ appartient à $(d)$ si et seulement si les vecteurs $\vecteur{AM}$ et $\vecteur{u}$ sont colinéaires. vspace{10} vspace{5} $\bullet$ La droite d'équation $ax+by+c = 0$ a pour vecteur directeur $\cvecteur{u}{-b}{a}$ et passe par le point de coordonnées $\Big(1;\displaystyle \frac{a-c}{b}\Big)$. vspace{5} $\bullet$ Réciproquement une droite de vecteur directeur $\cvecteur{u}{-b}{a}$ a pour équation $ax+by+c = 0$
Déterminer l'équation cartésienne d'une droite de vecteur directeur $\cvecteur{u}{2}{-3}$ et passant par $A(2;5)$.
Déterminer l'équation cartésienne d'une droite de vecteur directeur $\cvecteur{u}{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ et passant par $C(0;2)$.
On considère les points $A(2;3)$ ; $B(4;7)$ et $C(4;7)$ . Tracer $(AB)$ puis déterminer son équation cartésienne. Déterminer une équation cartésienne de la droite parallèle à $(AB)$ et passant par $C$, la tracer.
Dans un repère orthonormé, on a $E(-2;3)$ et $F(-2;-1)$. Tracer $(EF)$ puis déterminer son équation cartésienne.
On considère deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ d'équation cartésienne $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ (ou réduite $y = a_1x + b_1$) et $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ (ou réduite $y = a_2x + b_2$). Le point d'intersection (s'il existe) a pour coordonnées la solution du système : vspace{20} hspace{100} $\systwo{a_1x + b_1y + c_1 & = & 0}{a_2x + b_2y + c_2 & = & 0}$ hspace{50} ou hspace{50} $\systwo{y & = & a_1x+b_1}{y & = & a_2x+b_2}$ vspace{20}
On considère deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$. Il suffit de tracer ces deux droites et de lire les coordonnées du point d'intersection. Attention, les coordonnées sont toujours des valeurs approchées.
On considère les points $A(2;3)$ ; $B(4;7)$ ; $C(-2;3)$ et $D(-4;-2)$ . Tracer $(AB)$ et $(CD)$ puis déterminer les coordonnées du point d'intersection de $(AB)$ et $(CD)$ (en utilisant les équations cartésiennes). Vérifier graphiquement.
On considère les points $A(-2;3)$ ; $B(0;2)$ ; $C(-1;2)$ et $D(4;3)$ . Tracer $(AB)$ et $(CD)$ puis déterminer les coordonnées du point d'intersection de $(AB)$ et $(CD)$ (en utilisant les équations réduites). Vérifier graphiquement.
Soient $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ deux vecteurs non nuls et *{tdu::non colinéaires}. Tout vecteur $\vecteur{w}$ du plan s'écrit de façon unique sous la forme $\vecteur{w} = x\vecteur{u} + y\vecteur{v}$. vspace{10} Le couple de vecteur $\mathcal{B} = (\vecteur{u};\vecteur{v})$ forme une *{bold::base du plan} et $(x;y)$ sont les coordonnées de $\vecteur{w}$ dans la base $\mathcal{B}$.
Soient $\vecteur{AB}$ et $\vecteur{AC}$ deux vecteurs non nuls et *{tdu::non colinéaires}. Tout vecteur $\vecteur{AM}$ du plan s'écrit de façon unique sous la forme $\vecteur{AM} = x\vecteur{AB} + y\vecteur{AC}$. vspace{10} Le triplet $(A;\vecteur{AB};\vecteur{AC})$ forme un *{bold::repère du plan} et $(x;y)$ sont les coordonnées de $\vecteur{AM}$ dans ce repère.
Soient $A(2;1)$ , $B(4;0)$ et $C(3;3)$ dans le repère orthonormé $(O;\vecteur{OI};\vecteur{OJ})$.
Expliquer pourquoi $(A;\vecteur{AB};\vecteur{AC})$ forme un autre repère du plan.
Dans le repère $(A;\vecteur{AB};\vecteur{AC})$ , le point $D$ a pour coordonnées $(1;-1)$. Quelles sont les coordonnées de $D$ dans $(O;\vecteur{OI};\vecteur{OJ})$ ?
Dans le repère $(O;\vecteur{OI};\vecteur{OJ})$ , le point $E$ a pour coordonnées $(6;-1)$. Quelles sont les coordonnées de $E$ dans$(A;\vecteur{AB};\vecteur{AC})$ ?
On considère un triangle $EFG$ et $H$ tel que : $\displaystyle \vecteur{EH} = \frac{2}{3}\vecteur{EG} + \frac{1}{3}\vecteur{EF}$. Faire une figure.
||
En écrivant $\vecteur{FH} = \vecteur{FE} + \vecteur{EH}$, démontrer que $\vecteur{FH}$ et $\vecteur{FG}$ sont colinéaires.
||
Que peut-on en déduire concernant le point $H$ ?
On considère le vecteur $\cvecteur{u}{1}{m}$ où $m$ est un nombre réel et le point $A(-2;0)$. Soit $(d_m)$ la droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vecteur{u}$.
Déterminer une équation cartésienne de $(d_m)$.
||
Peut-on trouver $m$ tel que le point $B(3;2)$ appartienne à $(d_m)$ ?
||
Peut-on trouver $m$ tel que $(d_m)$ soit parallèle à la droite $(D)$ d'équation $-5x+2y-7=0$ ?
||
Peut-on trouver $m$ tel que $(d_m)$ soit parallèle à la droite $(D')$ d'équation $-4x+12=0$ ?
||
Quels sont les points du plan qui n'appartiennent à aucune droite $(d_m)$ ?
Déterminer tous les vecteurs directeurs de norme $1$ de la droite :
$(d_1)$ d'équation $x-8 = 2$
&
$(d_2)$ d'équation $2x+3y+5=0$
||
$(d_3)$ d'équation $y = 5x+3$
&
$(d_3)$ d'équation $y = 5x+3$
||
$(d_3)$ d'équation $y = 5x+3$
&
$(d_3)$ d'équation $y = 5x+3$
||
$(d_3)$ d'équation $y = 5x+3$
&
$(d_3)$ d'équation $y = 5x+3$
Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation de la droite $(d')$ parallèle à $(d)$ passant par $A$.
$A(2;1)$ et $(d)$ d'équation $-3x+y=0$
&
$A(-1;3)$ et $(d)$ d'équation $-x-2y+1=0$
||
$A(1;1)$ et $(d)$ d'équation $\displaystyle -\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+4=0$
&
$\displaystyle A\Big(\frac{1}{2};\frac{1}{3}\Big)$ et $(d)$ d'équation $\displaystyle -x +y -2=0$
On considère un parallélogramme $ABCD$ et les points $E$ et $F$ définis par : ,, $\vecteur{AE} = 2\vecteur{AD}$ hspace{10} ,, $\vecteur{AF} = \dfrac{2}{3}\vecteur{AC}$ vspace{5}
Faire une figure.
Que peut-on conjecturer sur les points $B$, $F$ et $E$ ?
Calculer $\vecteur{BE}$ en fonction de $\vecteur{CD}$ et $\vecteur{AC}$
Calculer $\vecteur{BF}$ en fonction de $\vecteur{CD}$ et $\vecteur{AC}$
En déduire que $\vecteur{BE}$ et $\vecteur{BF}$ sont colinéaires.
Conclure.
On considère trois points non alignés $A$, $B$ et $C$. Le point $E$ est défini par $\vecteur{AE} = 2\vecteur{AB} + \vecteur{AC}$. vspace{5}
Faire une figure.
Établir une conjecture sur les droites $(CE)$ et $(AB)$.
Démontrer que $\vecteur{CE} = 2\vecteur{AB}$.
Conclure.
On considère trois points non alignés $A$, $B$ et $C$.
Les points $P$ et $Q$ sont définis par : $\vecteur{AP} = 2\vecteur{AB} - \vecteur{AC}$ et $\vecteur{AQ} = \dfrac{1}{2}\vecteur{AB} + \dfrac{1}{2}\vecteur{AC}$ vspace{5}
Faire une figure.
Que peut-on conjecturer sur le point $Q$ ? Et sur $B$ ?
Démontrer que $\vecteur{PC} = −2\vecteur{AB} + 2\vecteur{AC}$. En déduire la position du point $B$.
Exprimer $\vecteur{BQ}$ en fonction de $\vecteur{BC}$. En déduire la position du point $C$.
On considère le point $A(−7; 1)$ et la droite $(D)$ d’équation réduite $y = −5x + 1$. Déterminer $x$, abscisse du point $B$ de coordonnées $(x; 8)$ tel que les droites $(AB)$ et $(D)$ soient parallèles.
On considère les points $A$ et $B$ de coordonnées respectives $(1; −5)$ et $(−1; 3)$. Déterminer $y$, ordonnée du point $C$ de coordonnées $(2; y)$ tel que $A$, $B$ et $C$ soient alignés.
On considère les points $A(-2;6)$ et $B(-5;4)$.
Dans un repère orthonormé, tracer $(AB)$.
Déterminer l'équation réduite de $(AB)$.
Donner un vecteur directeur $\vecteur{u}$ de $(AB)$ (autre que $\vecteur{AB}$)
Donner un vecteur directeur $\vecteur{v}$ de $(AB)$ de norme $1$.
On considère les points $E(9;-3)$ et $F(6;2)$.
Dans un repère orthonormé, tracer $(EF)$.
Déterminer l'équation réduite de $(EF)$.
Donner un vecteur directeur $\vecteur{u}$ de $(EF)$ (autre que $\vecteur{EF}$)
Donner un vecteur directeur $\vecteur{v}$ de $(EF)$ de norme $1$.
On considère $\cvecteur{u}{-2}{8}$ et $A(-1;3)$.
Dans un repère orthonormé, tracer $\vecteur{u}$ puis placer $A$.
Déterminer l'équation réduite de la droite $(d)$ de vecteur directeur $\vecteur{u}$ et passant par $A$.
Tracer $(d)$
On considère $\cvecteur{v}{3}{-5}$ et $B(2;-4)$.
Dans un repère orthonormé, tracer $\vecteur{v}$ puis placer $B$.
Déterminer l'équation réduite de la droite $(d)$ de vecteur directeur $\vecteur{v}$ et passant par $B$.
Tracer $(d)$
On considère les points $A(0;-4)$, $B(3;2)$, $C(-1;6)$ et $D(1,5;-4)$.
Dans un repère orthonormé, tracer $(AB)$ et $(CD)$.
Déterminer l'équation réduite de $(AB)$.
Déterminer l'équation réduite de $(CD)$.
Déterminer les coordonnées du point $I$ d'intersection de $(AB)$ et $(CD)$.
On considère les points $M(-2;7)$, $N(3;-8)$, $O(0;-3)$ et $P(3;0)$.
Dans un repère orthonormé, tracer $(MN)$ et $(OP)$.
Déterminer l'équation réduite de $(MN)$.
Déterminer l'équation réduite de $(OP)$.
Déterminer les coordonnées du point $A$ d'intersection de $(MN)$ et $(OP)$.
On considère les points $A(-3;5)$ et $B(-5;3)$.
Dans un repère orthonormé, tracer $(AB)$.
Déterminer l'équation cartésienne de $(AB)$.
Donner un vecteur directeur $\vecteur{u}$ de $(AB)$ (autre que $\vecteur{AB}$)
Donner un vecteur directeur $\vecteur{v}$ de $(AB)$ de norme $1$.
On considère les points $E(8;-4)$ et $F(5;3)$.
Dans un repère orthonormé, tracer $(EF)$.
Déterminer l'équation cartésienne de $(EF)$.
Donner un vecteur directeur $\vecteur{u}$ de $(EF)$ (autre que $\vecteur{EF}$)
Donner un vecteur directeur $\vecteur{v}$ de $(EF)$ de norme $1$.
On considère $\cvecteur{u}{-3}{5}$ et $A(-1;3)$.
Dans un repère orthonormé, tracer $\vecteur{u}$ puis placer $A$.
Déterminer l'équation cartésienne de la droite $(d)$ de vecteur directeur $\vecteur{u}$ et passant par $A$.
Tracer $(d)$
On considère $\cvecteur{v}{2}{-4}$ et $B(2;-4)$.
Dans un repère orthonormé, tracer $\vecteur{v}$ puis placer $B$.
Déterminer l'équation cartésienne de la droite $(d)$ de vecteur directeur $\vecteur{v}$ et passant par $B$.
Tracer $(d)$
On considère les points $A(1;-3)$, $B(1;2)$, $C(-2;4)$ et $D(3;-2)$.
Dans un repère orthonormé, tracer $(AB)$ et $(CD)$.
Déterminer l'équation cartésienne de $(AB)$.
Déterminer l'équation cartésienne de $(CD)$.
Déterminer les coordonnées du point $I$ d'intersection de $(AB)$ et $(CD)$.
On considère les points $M(-2;7)$, $N(3;-8)$, $O(0;-3)$ et $P(3;0)$.
Dans un repère orthonormé, tracer $(MN)$ et $(OP)$.
Déterminer l'équation cartésienne de $(MN)$.
Déterminer l'équation cartésienne de $(OP)$.
Déterminer les coordonnées du point $A$ d'intersection de $(MN)$ et $(OP)$.
mark({Ox: '5cm',Oy: '5cm',cmy: 1}) width(3) grid(3) point(1,-2.5,'A') point('lastX+3','lastY+3.5',{name: 'B'}) //vector2Points('A','B') arrow('->') line(-1,2,-3,-2) math('\\vecteur{u}',-2.5,1,{fontSize: '12pt', alpha: -60})
&
Donner les coordonnées de $\vecteur{u}$
Donner les coordonnées de $\vecteur{AB}$
Donner les coordonnées de $\vecteur{BA}$
Donner les coordonnées de $\vecteur{v}$ tel que $\vecteur{v} = -\vecteur{u}$
Recopier et compléter :
Soit $\cvecteur{u}{x}{y}$ et $\vecteur{v} = -\vecteur{u}$
alors $\cvecteur{v}{\cdots}{\cdots}$
mark({Ox: '5cm',Oy: '4cm',cmy: 1}) width(3) grid(3) point(-3,2,'M')
&
Donner les coordonnées de $K$ tel que $\cvecteur{MK}{2}{-1}$. Le placer.
Donner les coordonnées de $D$ tel que $\vecteur{MD} = 3\times \vecteur{MK}$. Le placer.
Recopier et compléter :
Soit $\cvecteur{u}{x}{y}$ et $\vecteur{v} = \alpha \times \vecteur{u}$
alors $\cvecteur{v}{\cdots}{\cdots}$
mark({Ox: '5cm',Oy: '4cm',cmy: 1}) width(3) grid(3) arrow('->') line(2,3,4,0) math('\\vecteur{u}',3,2.4,{fontSize: '12pt', alpha: 60}) line(0,-3.5,2,-2.5) math('\\vecteur{v}',0.8,-2.1,{fontSize: '12pt', alpha: -20}) point(-4,3.5,'C')
&
Donner les coordonnées de $A$ tel que $\vecteur{CA} = \vecteur{u}$. Le placer.
Donner les coordonnées de $H$ tel que $\vecteur{AH} = \vecteur{v}$. Le placer.
Donner les coordonnées de $\vecteur{CH}$ de $\vecteur{u}$ et de $\vecteur{v}$.
Recopier et compléter :
Soit $\cvecteur{u}{x}{y}$ ; $\cvecteur{v}{x'}{y'}$ et $\vecteur{w} = \vecteur{u} + \vecteur{v}$ alors $\cvecteur{w}{\cdots}{\cdots}$
mark({Ox: '6cm',Oy: '5cm',cmy: 1}) width(3) grid(3) point(-4,3,'A') point(-3,-2,'B') point(1,2,'D') point(2,-3,'C')
&
Donner les coordonnées de $\vecteur{AB}$ et $\vecteur{DC}$.
Expliquer pourquoi $ABCD$ est un parallélogramme.
Recopier et compléter :
Soit $\cvecteur{u}{x}{y}$ ; $\cvecteur{v}{x'}{y'}$
$\vecteur{u} = \vecteur{v}$ $\ssi$ $\ldots$ et $\ldots$
On considère les points $A(-1;1)$ ; $B(-3;-2)$ ; $C(1;-3)$ ; $D(3;0)$ et $K(0;-1)$.
Placer ces points dans un repère orthonormé $(O;\vecteur{i};\vecteur{j})$.
Calculer les coordonnées de $\vecteur{BC}$ puis $\vecteur{AD}$. En déduire que $ABCD$ est un parallélogramme.
Calculer les coordonnées de $\vecteur{AK}$ puis $\vecteur{KC}$. Que dire alors du point $K$ ?
Calculer les coordonnées de $\vecteur{BA}$ puis $\vecteur{BD}$. Que remarquez-vous ?
On considère les points $H(-2;3)$ ; $R(1;-1)$ ; $T(2;-3)$.
Placer ces points dans un repère orthonormé $(O;\vecteur{i};\vecteur{j})$.
Calculer les coordonnées du point $E$ pour que $HRTE$ soit un parallélogramme. Le placer.
En utilisant des vecteurs, démontrer que $O$ est le centre du parallélogramme $HRTE$.
On considère les points $M(2;4)$ ; $K(4;-2)$ et $N(0;0,5)$.
Placer ces points dans un repère orthonormé $(O;\vecteur{i};\vecteur{j})$.
Calculer les coordonnées du point $G$ pour que $N$ soit le milieu de $[MG]$.
Calculer les coordonnées du point $L$ pour que $N$ soit le milieu de $[LK]$.
Démontrer, *{tdu::de deux façons différentes}, que $MLGK$ est un parallélogramme.
Calculer les coordonnées du point $R$ pour que $RLNG$ soit un parallélogramme. Le placer.
*{bold;tdu::Hypothèse} : Soient $4$ points tels que $\vecteur{GH} = \vecteur{GK} + \vecteur{GP}$
*{bold;tdu::Conclusion} : $GKHP$ est un parallélogramme (faire une figure).
À l'aide de l'hypothèse, *{tdu::recopier} et compléter les pointillés : $\vecteur{GH} - \;\ldots\ldots\; = \vecteur{GK}$
En utilisant la question 1., recopier et compléter : $\vecteur{GH} + \;\ldots\ldots\; = \vecteur{GK}$
En utilisant la question 2., recopier et compléter : $\ldots\ldots\; + \vecteur{GH} = \vecteur{GK}$
En utilisant la question 3. et la relation de Chasles, recopier et compléter : $\;\ldots\ldots\; = \vecteur{GK}$
Recopier et compléter : comme $\;\ldots\ldots\; = \vecteur{GK}$ alors $\;\ldots\ldots\;$ est un parallèlogramme. Vérifier que cela correspond bien à la conclusion.
*{bold;tdu::Hypothèse} : $TREF$ est un parallélogramme (faire une figure).
*{bold;tdu::Conclusion} : $\vecteur{ET} = \vecteur{ER} + \vecteur{EF}$
À l'aide de l'hypothèse, *{tdu::recopier} et compléter les pointillés : comme $\;\ldots\ldots\;$ est un parallèlogramme alors $\vecteur{ER} = \;\ldots\ldots\;$
En utilisant la question 1. et la relation de Chasles, recopier et compléter : $\vecteur{ER} = \;\ldots\ldots\; + \vecteur{ET}$
En utilisant la question 2., recopier et compléter : $\vecteur{ER} - \;\ldots\ldots\; = \vecteur{ET}$
En utilisant la question 3., recopier et compléter : $\vecteur{ER} + \;\ldots\ldots\; = \vecteur{ET}$
En utilisant la question 4., recopier et compléter : $\vecteur{ET} = \;\ldots\ldots\; + \;\ldots\ldots\;$
Vérifier que cela correspond bien à la conclusion.
*{bold;tdu::Hypothèse} : Soient $4$ points tels que $\vecteur{MV} = \vecteur{MC} + \vecteur{MA}$
*{bold;tdu::Conclusion} : $CMAV$ est un parallélogramme (faire une figure).
*{tdu::Recopier} et compléter les pointillés : $\vecteur{MV} - \;\ldots\ldots\; = \vecteur{MA}$
Recopier et compléter : $\vecteur{MV} + \;\ldots\ldots\; = \vecteur{MA}$
Recopier et compléter : $\ldots\ldots\; + \vecteur{MV} = \vecteur{MA}$
Recopier et compléter : $\;\ldots\ldots\; = \vecteur{MA}$
Recopier et compléter : comme $\;\ldots\ldots\; = \vecteur{MA}$ alors $\;\ldots\ldots\;$ est un parallèlogramme. Vérifier que cela correspond bien à la conclusion.
*{bold;tdu::Hypothèse} : $MSBL$ est un parallélogramme (faire une figure).
*{bold;tdu::Conclusion} : $\vecteur{SL} = \vecteur{SM} + \vecteur{SB}$
*{tdu::Recopier} et compléter les pointillés : comme $\;\ldots\ldots\;$ est un parallèlogramme alors $\vecteur{SB} = \;\ldots\ldots\;$
Recopier et compléter : $\vecteur{SB} = \;\ldots\ldots\; + \vecteur{SL}$
Recopier et compléter : $\vecteur{SB} - \;\ldots\ldots\; = \vecteur{SL}$
Recopier et compléter : $\vecteur{SB} + \;\ldots\ldots\; = \vecteur{SL}$
Recopier et compléter : $\vecteur{SL} = \;\ldots\ldots\; + \;\ldots\ldots\;$
Vérifier que cela correspond bien à la conclusion.
Démontrer que (dans les deux sens) : vspace{20} $KNCT$ est un parallélogramme $\ssi$ $\vecteur{NT} = \vecteur{NC} + \vecteur{NK}$ vspace{5}
Démontrer que (dans les deux sens) : vspace{10} $\vecteur{AF} = \vecteur{AT} + \vecteur{AE}$ $\ssi$ $FTAE$ est un parallélogramme vspace{5}
Démontrer que (dans les deux sens) (compléter avant tout les pointillés) : vspace{10} $BLRU$ est un parallélogramme $\ssi$ $\vecteur{RB} = \;\ldots\ldots\; + \;\ldots\ldots\;$ vspace{5}
Démontrer que (dans les deux sens) (compléter avant tout les pointillés) : vspace{10} $\vecteur{VM} = \vecteur{VR} + \vecteur{VE}$ $\ssi$ $\;\ldots\ldots\;$ est un parallélogramme vspace{5}
Démontrer que (dans les deux sens) (compléter avant tout les pointillés) : vspace{10} $\vecteur{AC} = \vecteur{AE} + \;\ldots\ldots\;$ $\ssi$ $PC\ldots\ldots$ est un parallélogramme vspace{5}
Dans un triangle $ABC$, on considère les points $D$, $E$ et $F$ définis par : vspace{5} $\bullet$ $\displaystyle \vecteur{AD} = -\frac{1}{2}\vecteur{AC}$ vspace{5} $\bullet$ $\displaystyle \vecteur{AE} = \frac{1}{4}\vecteur{AB}$ vspace{5} $\bullet$ $\displaystyle \vecteur{BF} = \frac{1}{2}\vecteur{BC}$ vspace{5} On souhaite montrer, par deux méthodes différentes, que les points $D$, $E$ et $F$ sont alignés. vspace{5}
Méthode $n^\circ 1$ :
Tracer un triangle $ABC$ et y placer les points $D$, $E$ et $F$.
Décomposer les vecteurs $\vecteur{EF}$ et $\vecteur{DF}$ sur les vecteurs $\vecteur{AB}$ et $\vecteur{AC}$.
Démontrer que les points $D$, $E$ et $F$ sont alignés.
Méthode $n^\circ 2$ : on se place dans le repère $(A;\vecteur{AB};\vecteur{AC})$
Déterminer les coordonnées de tous les points de la figure.
Démontrer que les points $D$, $E$ et $F$ sont alignés.
geom2d.setBoundingBox([-2.5,2.5,2.5,-2.5]); var p1 = geom2d.create('point',[-1,1], {face:'x',size:3,name:"A",fixed:true,strokeColor:'#000000',strokeWidth:4}); var p2 = geom2d.create('point',[2,-1], {face:'x',size:3,name:"B",fixed:true,strokeColor:'#000000',strokeWidth:4}); var li = geom2d.create('line',["A","B"], {strokeColor:'#444444',strokeWidth:2});
&
Déterminer un vecteur directeur de $(AB)$ de norme $1$.
Déterminer un vecteur directeur de $(AB)$ de norme $3$.
Déterminer l'équation réduite de $(AB)$
geom2d.setBoundingBox([-5,5,5,-5]); var p1 = geom2d.create('point',[-4,-3], {face:'x',size:3,name:"E",fixed:true,strokeColor:'#000000',strokeWidth:4}); var p2 = geom2d.create('point',[2,1], {face:'x',size:3,name:"F",fixed:true,strokeColor:'#000000',strokeWidth:4}); var p3 = geom2d.create('point',[-3,1], {face:'x',size:3,name:"G",fixed:true,strokeColor:'#000000',strokeWidth:4}); //var p3 = geom2d.create('point',[0,3], {face:'x',size:3,name:"H",fixed:true,strokeColor:'#000000',strokeWidth:4}); var li = geom2d.create('line',["E","F"], {strokeColor:'#444444',strokeWidth:2}); //var li = geom2d.create('line',["G","H"], {strokeColor:'#444444',strokeWidth:2});
&
Déterminer un vecteur directeur de $(EF)$ de norme $2$.
Déterminer l'équation réduite de $(EF)$
Soit $(d) : y = \dfrac{2}{3}x+3$. Démontrer que $G \in (d)$. Tracer $(d)$.
Déterminer un vecteur directeur de $(d)$.
Démontrer que $(d) \;// \;(EF)$.
geom2d.setBoundingBox([-5,5,5,-5]); var p1 = geom2d.create('point',[2,2], {face:'x',size:3,name:"M",fixed:true,strokeColor:'#000000',strokeWidth:4}); var p2 = geom2d.create('point',[-4,-1], {face:'x',size:3,name:"N",fixed:true,strokeColor:'#000000',strokeWidth:4}); var p3 = geom2d.create('point',[-1,-3], {face:'x',size:3,name:"A",fixed:true,strokeColor:'#000000',strokeWidth:4}); //var p3 = geom2d.create('point',[0,3], {face:'x',size:3,name:"H",fixed:true,strokeColor:'#000000',strokeWidth:4}); var li = geom2d.create('line',["M","N"], {strokeColor:'#444444',strokeWidth:2}); //var li = geom2d.create('line',["G","H"], {strokeColor:'#444444',strokeWidth:2});
&
Déterminer un vecteur directeur de $(MN)$ de norme $4$.
Déterminer l'équation réduite de $(MN)$
Déterminer l'équation réduite de la droite $(\Delta)$ de vecteur directeur $\cvecteur{w}{-14}{-7}$ et passant par $A$.
Tracer $(\Delta)$.
Démontrer que $(\Delta) \;// \;(MN)$.