Une suite $u$ est *{bold::croissante}, si pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} \geqslant u_n$ ou $u_{n+1} - u_n \geqslant 0$ vspace{10} Dans le cas où les termes de la suite $u$ sont tous strictement positifs : $\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n} \geqslant 1$
Une suite $u$ est *{bold::décroissante}, si pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} \leqslant u_n$ ou $u_{n+1} - u_n \leqslant 0$ vspace{10} Dans le cas où les termes de la suite $u$ sont tous strictement positifs : $\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n} \leqslant 1$
Une suite $u$ est *{bold::monotone} si elle est croissante ou décroissante.
Les suites suivantes sont-elles monotones ?
$u_n = (-1)^n$ pour $n \in \mathbb{N}$
&
$u_n = 5n +9$ pour $n \in \mathbb{N}$
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$\displaystyle u_n = \frac{1}{n+1}$ pour $n \in \mathbb{N}$
&
$\displaystyle u_n = \frac{1}{3^n}$ pour $n \in \mathbb{N}$
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$\displaystyle u_n = n^2-6n+9$ pour $n \in \mathbb{N}$
&
$\displaystyle u_n = n^2-8n+18$ pour $n \in \mathbb{N}$
Soit une suite $u$ définie par $u_n = f(n)$ avec $n\in \mathbb{N}$ et $f$ une fonction définie sur $[0;+\infty[$.
,, Si $f$ est croissante sur $[0;+\infty[$ alors $u$ est croissante.
,, Si $f$ est décroissante sur $[0;+\infty[$ alors $u$ est décroissante.
Les suites suivantes sont-elles monotones ?
$u_n = 2 \times n - 9$ pour $n \in \mathbb{N}$
&
$u_n = 10-3n$ pour $n \in \mathbb{N}$
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$\displaystyle u_n = \frac{-2}{4n-4}$ pour $n \in \mathbb{N}$
&
$\displaystyle u_n = \sqrt{n+2}$ pour $n \in \mathbb{N}$
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$\displaystyle u_n = 4n^2-9n+1$ pour $n \in \mathbb{N}$
&
$\displaystyle u_n = 4n-9n^2+1$ pour $n \in \mathbb{N}$
Soit $u$ une suite arithmétique de raison $r \not= 0$ et de premier terme $u_0$.
$r$ & $u$ || $r > 0$ & est croissante || $r < 0$ & est décroissante
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $\displaystyle u_0 = -8$ et de raison $\displaystyle r = 9$. Etudier la monotonie de $(u_n)$.
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $\displaystyle u_0 = 1$ et de raison $\displaystyle r = \frac{1}{6}$. Etudier la monotonie de $(u_n)$.
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $\displaystyle u_0 = -7$ et de raison $\displaystyle r = -\frac{11}{2}$. Etudier la monotonie de $(u_n)$.
Soit $u$ une suite géométrique de raison $q \not= 0$ et de premier terme $u_0$.
$u_0$ & $q$ & $u$ || $u_0 > 0$ & $0 < q < 1$ & est décroissante || $u_0 > 0$ & $q > 1$ & est croissante || $u_0 < 0$ & $0 < q < 1$ & est croissante || $u_0 < 0$ & $q > 1$ & est décroissante || & $q < 0$ & n'est pas monotone
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $\displaystyle u_0 = 1$ et de raison $\displaystyle q = 7$. Etudier la monotonie de $(u_n)$.
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $\displaystyle u_0 = -7$ et de raison $\displaystyle q = 2$. Etudier la monotonie de $(u_n)$.
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $\displaystyle u_0 = -1$ et de raison $\displaystyle q = \frac{3}{5}$. Etudier la monotonie de $(u_n)$.
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $\displaystyle u_0 = 5$ et de raison $\displaystyle q = \frac{1}{5}$. Etudier la monotonie de $(u_n)$.
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $\displaystyle u_0 = 5$ et de raison $\displaystyle q = -\frac{9}{5}$. Etudier la monotonie de $(u_n)$.
Une suite $u$ *{bold::converge vers} un réel $l$ quand ses termes $u_n$ se rapprochent de plus en plus vers $l$ lorsque $n$ devient de plus en plus grand. Cela signifie que $u_n$ tend vers le réel $l$ quand $n$ tend vers $+\infty$ et on note : $\underset{n \rightarrow +\infty}{u_{n}} \longrightarrow l$ vspace{10} Quand une suite $u$ converge vers le réel $l$, $l$ est appelé la *{bold::limite} de la suite $u$. vspace{10} Quand une suite $u$ converge vers le réel $l$, on note : $\underset{n \rightarrow +\infty}{lim} \; u_n = l$ vspace{10} Une suite $u$ est *{bold::divergente} quand elle ne converge pas vers un réel ou bien que ses termes tendent vers $+\infty$ ou $-\infty$. On a donc $\underset{n \rightarrow +\infty}{lim} \; u_n = +\infty$ ou $\underset{n \rightarrow +\infty}{lim} \; u_n = -\infty$
A l'aide d'une calculatrice, conjecturer la limite éventuelle des suites $u$ : vspace{10}
$\displaystyle u_n = \frac{2n+1}{n-1} $ pour $n > 1$
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$\displaystyle u_n = \frac{2n+1}{n^2+4} $ pour $n \in \mathbb{N}$
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$\displaystyle u_n = \frac{2n^2-1}{n+1} $ pour $n \in \mathbb{N}$
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$\displaystyle u_n = \frac{5n+1}{3n-2} $ pour $n \in \mathbb{N}$
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$\displaystyle u_0 = 4$ et $\displaystyle u_{n+1} = 2u_n$
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$\displaystyle u_0 = 2$ et $\displaystyle u_{n+1} = -\frac{1}{2}u_n$
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$\displaystyle u_0 = 1$ et $\displaystyle u_{n+1} = \frac{5}{u_n}$
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$\displaystyle u_n = (-4)^n $ pour $n \in \mathbb{N}$
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$\displaystyle u_n = 2n^2 -5n-2 $ pour $n \in \mathbb{N}$
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$\displaystyle u_n = -3n^3 + 4n^2-1 $ pour $n \in \mathbb{N}$
Ecrire un algorithme permettant d'afficher les $100$ premiers termes de la suite $(a_n)$ définie par : $a_0 = 0$ et $a_{n+1} = a_n +2$. Que remarque-t-on ?
Une balle rebondissante est telle que chaque rebond a une hauteur égale à $80\%$ du rebond précédent.
Si on appelle $h_n$ la hauteur en cm du n-ième rebond, montrer que $(h_n)$ est une suite géométrique.
Étudier les variations de cette suite. Étudier la limite de cette suite.
Au bout de combien de rebonds sa hauteur sera-t-elle inférieure au cinquième de sa hauteur initiale ?
On jette chaque année $160\;kg$ de déchets dans un bois. On estime que $20\%$ de la totalité des déchets présents se dégradent. On note $u_n$ la quantité de déchets présents l'année $2014+n$, sachant qu'en $2014$ un grand nettoyage du bois a été effectué et que l'on suppose donc que $u_0 = 0$.
Montrer que $u_{n+1} = 0, 8u_n + 160$ pour tout entier naturel $n$.
Construire les six premiers termes de la suite $(u_n)$ (échelle : $1\;cm$ pour $50\;kg$ sur les deux axes).
Conjecturer le sens de variations ainsi que la convergence de la suite.
Que peut-on en déduire quant à l'évolution de la quantité de déchets dans ce bois ?
En traversant une plaque de verre teintée, un rayon lumineux perd $23\%$ de son intensité lumineuse. On superpose $n$ plaques de verre identiques et on note $i$ l'intensité du rayon à la sortie de la n-ème plaque exprimée en candela.
$i_0$ étant l'intensité lumineuse du rayon avant son entrée dans la première plaque de verre et $i_1$ l'intensité à la sortie de cette plaque de verre, exprimer $i_1$ en fonction de $i_0$.
Quelle est la nature de la suite $(i_n)$ ? Exprimer $i_n$ en fonction de $n$ et de $i_0$.
Etudier les variations et la convergence de la suite $(i_n)$.
Déterminer l'intensité initiale d'un rayon dont l'intensité après avoir traversé $4$ plaques teintées est égale à $15$ candelas.
Combien faut-il au minimum qu'un rayon traverse de plaques pour que son intensité lumineuse soit divisée par $5$ ?
Au premier janvier 2015, on place $1500$ € sur un compte rémunéré. Cette rémunération représente $1\%$ de la somme disponible sur ce compte *{bold::par mois}. A partir de février on place $100$ € de plus chaque premier du mois. Soit $(u_n)$ la suite dont le terme $u_n$ représente la somme disponible sur ce compte au mois $n+1$. On a donc $u_0 = 1500$
Démontrer que $u_1 = 1615$ et que $u_2 = 1731,15$. Calculer $u_3$. Que représente $u_3$ dans le contexte de l'exercice ?
Démontrer que $(u_n)$ n'est ni une suite arithmétique ni une suite géométrique.
Déterminer la forme récurrente de $(u_n)$. Démontrer que $(u_n)$ est croissante et donner sa limite
Ecrire un algorithme permettant de déterminer le plus petit entier $n$ pour que le capital de ce compte soit au moins de $2200$ €
En dressant un tableau donner la valeur de $n$ de la question précédente puis le mois auquel la somme de $2200$ € sera atteinte.