$\mathbb{N}$ désigne l'ensemble des nombres entiers positifs appelés *{bold::entiers naturels}.
Une *{bold::suite numérique}, notée $(u_n)$ ou $u$, est une fonction définie sur $\mathbb{N}$. L'image de l'entier $n$, notée $u_n$ (sans les parenthèses), est appelée *{bold::terme de la suite $u$ d'indice $n$}. Ainsi : $\begin{array}{rcl} (u_n) : \mathbb{N} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ n & \mapsto & u_n \end{array}$
Une *{bold::suite explicite} est un suite dont les termes sont de la forme : $u_n=f(n)$ ou $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
Soit $u$ une suite numérique définie par : $u_n = n^2$
Pour quelle(s) valeur(s) de $n$, $u_n$ n'est pas définie.
Calculer les termes $u_0$ , $u_1$, $\ldots$ et $u_{8}$.
Dans un repère, placer les points $(n;u_n)$ pour tous les entiers naturels plus petits que $8$.
Quel est l'indice de $u$ tel que $u_n = 12167$ ?
Quels sont les indices de $u$ tels que $u_n \leqslant 99$ ?
Quel est l'indice de $u$ tel que $u_n = 10$ ?
&
Soit $u$ une suite numérique définie par : $\displaystyle u_n = \frac{1}{n}$
Pour quelle(s) valeur(s) de $n$, $u_n$ n'est pas définie.
Calculer les termes $u_1$, $\ldots$ et $u_{5}$.
Dans un repère, placer les points $(n;u_n)$ pour tous les entiers naturels plus petits que $5$.
Quel est l'indice de $u$ tel que $u_n = 10^{-34}$ ?
Quels sont les indices de $u$ tels que $u_n \geqslant 1$ ?
||
Soit $u$ une suite numérique définie par : $u_n = \sqrt{n}$
Pour quelle(s) valeur(s) de $n$, $u_n$ n'est pas définie.
Calculer les termes $u_0$ , $u_1$, $u_4$, $u_9$, $u_{16}$, $u_{25}$
Dans un repère, placer les points $(n;u_n)$ pour tous les entiers naturels correspondants à la question précédente.
Quel est l'indice de $u$ tel que $u_n = 12167$ ?
Quels sont les indices de $u$ tels que $u_n \leqslant 99$ ?
Quel est l'indice de $u$ tel que $u_n = 10$ ?
&
Soit $u$ une suite numérique correspondant aux nombres impairs.
Donner la fonction $f$ telle que $u_n = f(n)$.
Calculer les $10$ premiers termes de la suite $u$.
Dans un repère, placer les $10$ points correspondants aux indices de la question précédente.
Ces points sont-ils alignés ? Justifier.
Une suite numérique $u$ est définie par une *{bold::relation de récurrence} quand son premier terme est connu et le terme $u_{n+1}$ peut être calculé en fonction du terme $u_n$.
Soit $u$ une suite numérique définie par : $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 3u_n-2$
Calculer les termes $u_0$ , $u_1$, $\ldots$ et $u_{8}$.
Dans un repère, placer les points $(n;u_n)$ pour tous les entiers naturels plus petits que $8$.
&
Soit $u$ une suite numérique définie par : $u_0 = 2$ et $\displaystyle u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n+3$
Déterminer la fonction $f$ telle que $\displaystyle u_{n+1} = f(u_n)$
Dans un même repère, tracer la courbe représentative de $f$ puis la droite d'équation $y=x$. Enfin, placer les termes $u_1$, $u_2$, $u_3$
Une suite $u$ est *{bold::arithmétique} si il existe un réel $r$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$ on a : $u_{n+1} = u_n + r$ ou $u_{n+1} - u_n = r$ vspace{5} Le réel $r$ est la *{bold::raison} de la suite arithmétique $u$.
Les suites $(u_n)$ suivantes sont-elles arithmétiques ? Si oui donner leur raison.
$u$ est une suite numérique définie par : $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n+2$.
$u$ est une suite numérique définie par : $u_1 = 2$ et $u_{n+1} = u_n - 4$.
$u$ est une suite numérique définie par : $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = u_n^2 + 1$.
$u$ est une suite numérique définie par : $u_{n} = -5n + 1$ pour $n \in \mathbb{N}$.
$u$ est une suite numérique définie par : $u_{n} = 4n^2 + 3$ pour $n \in \mathbb{N}$.
$u$ est une suite numérique définie par : $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = u_n + 2n$.
Si la suite $u$ est arithmétique de raison $r$ alors pour un entier $k$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ on a : $u_{n} = u_k + (n-k)r$ et pour $k=0$ ; $u_{n} = u_0+ nr$
Déterminer la forme explicite des suites suivantes :
$(u_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 1$ et de raison $-2$.
$u$ est une suite arithmétique telle que $u_{2} = 8$ et de raison $5$.
$(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $-1$ et telle que $u_{5} = 10$.
$u$ est une suite arithmétique telle que $u_{2} = 3$ et $u_{3} = 8$.
$(u_n)$ est une suite arithmétique telle que $u_{5} = 38$ et $u_{8} = 21$.
Une suite $u$ est *{bold::géométrique} si il existe un réel $q \not= 0$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$ on a : $u_{n+1} = q\times u_n = qu_n$ ou $\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n} = q$ vspace{5} Le réel $q$ est la *{bold::raison} de la suite géométrique $u$.
Les suites $(u_n)$ suivantes sont-elles géométriques ? Si oui donner leur raison.
$u$ est une suite numérique définie par : $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n$.
$u$ est une suite numérique définie par : $u_1 = 2$ et $u_{n+1} = -u_n $.
$u$ est une suite numérique définie par : $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = u_n^2 + 2u_n$.
$u$ est une suite numérique définie par : $u_{n} = 10^n$ pour $n \in \mathbb{N}$.
$u$ est une suite numérique définie par : $u_{n} = (-1)^n$ pour $n \in \mathbb{N}$.
$u$ est une suite numérique définie par : $u_{n} = 4n^2$ pour $n \in \mathbb{N}$.
$u$ est une suite numérique définie par : $\displaystyle u_{n} = \frac{2^{n+1}}{3^{2n}}$ pour $n \in \mathbb{N}$
$u$ est une suite numérique définie par : $u_1= 1$ et $u_{n+1} = u_n \times 2n$.
Démontrer que la somme $S$ des $n$ premiers entiers est égale à : $\displaystyle S = \sum_{k=0}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2}$
Si la suite $u$ est géométrique de raison $q$ alors pour un entier $k$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ on a : $u_{n} = u_k\times q^{n-k}$ et pour $k=0$ ; $u_{n} = u_0\times q^n$
Déterminer la forme explicite des suites suivantes :
$(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_0 = 1$ et de raison $-2$.
$u$ est une suite géométrique telle que $u_{2} = 8$ et de raison $3$.
$(u_n)$ est une suite géométrique de raison $-1$ et telle que $u_{5} = -8$ .
$u$ est une suite géométrique telle que $u_{2} = 28$ et $u_{3} = 63$.
$(u_n)$ est une suite géométrique telle que $u_{5} = -243$ et $u_{8} = 6521$.
Démontrer que la somme $S$ des $n$ premières puissance de $q$, réel non nul et différent de $1$, est égale à : $\displaystyle S = \sum_{k=0}^{n}q^k = 1+q+q^2 + \cdots + q^n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$
Déterminer si les suites $(u_n)$, définies pour $n \in \mathbb{N}$ sont arithmétiques. Si oui, donner le premier terme et la raison.
$4n+7$
&
$n^2+1$
&
$\displaystyle \frac{n}{2} + 5$
&
$\displaystyle 8^{n}$
||
$\displaystyle \frac{n+1}{n}$
&
$\displaystyle \frac{2n+5}{2}$
&
$\displaystyle \frac{n^2+3n+2}{n+2}$
&
$\displaystyle \frac{n^2+1}{n+1}$
Déterminer si les suites $(u_n)$, définies pour $n \in \mathbb{N}$ sont géométriques. Si oui, donner le premier terme et la raison.
$-4\times 3^n$
&
$3$
&
$\displaystyle \frac{3^n}{2^{n+2}}$
&
$\displaystyle 8^{n+2}$
& ||
$(-2)^n$
&
$4n$
&
$\displaystyle \frac{2}{n} - 3^n$
&
$\displaystyle 4^{n-1}$
Dans un repère, représenter graphiquement les cinq premiers termes des suites définies explicitement par :
$5-2n$
&
$\displaystyle \frac{n-1}{n+1}$
&
$\displaystyle \frac{1}{2}n^2-1$
Soit $(u_n)$ la suite définie pour $n \in \mathbb{N}$ par : $u_{n+1} = 2u_n+5$ et $u_0 = 1$.
Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
Montrer que $(u_n)$ n'est ni arithmétique ni géométrique.
On pose $v_n = u_n +5$ pour $n \in \mathbb{N}$. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique. Donner sa raison et son premier terme.
Donner la forme explicite de $(v_n)$.
En déduire la forme explicite de $(u_n)$.
Soit $(u_n)$ la suite définie pour $n \in \mathbb{N}$ par : $u_{n+1} = -3u_n - 1$ et $u_0 = 1$.
Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
Montrer que $(u_n)$ n'est ni arithmétique ni géométrique.
On pose $v_n = u_n + 0,25$ pour $n \in \mathbb{N}$. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique. Donner sa raison et son premier terme.
Donner la forme explicite de $(v_n)$.
En déduire la forme explicite de $(u_n)$.
Soit $(u_n)$ la suite définie pour $n \in \mathbb{N}$ par : $u_{n+1} = -3u_n +8$ et $u_0 = 6$.
Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
On pose $v_n = u_n -2$ pour $n \in \mathbb{N}$. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique. Donner sa raison et son premier terme.
Donner la forme explicite de $(v_n)$.
En déduire la forme explicite de $(u_n)$.
La population d'une ville augmente de $1\%$ chaque année. En 2000, la ville comportait $110\;000$ habitants. En 2014, combien la ville comportait-elle d'habitants ?
A partir des mesures relevées lors d'observations de tornades, des météorologues ont admis la règle suivante : la vitesse des vents dans les tornades diminue régulièrement de $10 \%$ toutes les 5 minutes.
Lors de la formation d'une tornade, on a mesuré la vitesse des vents par un radar météorologique et on a trouvé une vitesse initiale de $300 \;kmh^{-1}$. vspace{10} Soit la suite $(u_n)$ dont le terme $u_n$ correspond à la vitesse des vents après $5\times n$ minutes. On a donc $u_0 = 300$ et $u_1$ la vitesse des vents après $5$ minutes et $u_2$ la vitesse des vents après $10$ minutes. vspace{10}
Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$. Que représente $u_3$ dans le contexte de l'exercice ?
Démontrer que $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,9$.
Déterminer sa forme explicite et sa forme récurrente
Ecrire un algorithme permettant de déterminer le plus entier $n$ pour que la vitesse des vents de cette tornade soit inférieure ou égale à $150\;kmh^{-1}$
En dressant un tableau donner la valeur de $n$ de la question précédente.