$f$ est une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$. vspace{5} \num1 Si $f$ est constante sur $I$ alors $f'(x) = 0$ quelque soit $x \in I$. vspace{5} \num2 Si $f$ est strictement croissante sur $I$ alors $f'(x) \geqslant 0$ quelque soit $x \in I$. vspace{5} \num3 Si $f$ est strictement décroissante sur $I$ alors $f'(x) \leqslant 0$ quelque soit $x \in I$.
Donner le signe de la dérivée des fonctions suivantes sans calculer leur fonction dérivée :
$f_1(x) = x^2$ sur $[0;+\infty[$
&
$f_2(x) = 4 + 7x$
||
$f_3(x) = (6x - 7)^2$
&
$f_4(x) = (8+4x)^2$
||
$f_5(x) = (3x+7)(3x-7)$
&
$f_6(x) = 4(2x-3)^2$
||
$f_7(x) = 8(2+x)^2$
&
$f_8(x) = \frac{1}{x}$ sur $[0;+\infty[$
$f$ est une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$. vspace{5} \num1 Si pour tout $x\in I$, $f'(x) = 0$ alors $f$ est constante sur $I$. vspace{5} \num2 Si pour tout $x\in I$, $f'(x) \geqslant 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$. vspace{5} \num3 Si pour tout $x\in I$, $f'(x) \leqslant 0$ alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
Construire un tableau de variations, comportant le signe de la dérivée, des fonctions suivantes sur leur ensemble de définition :
$f_1(x) = 3x^2 + 8$
&
$f_2(x) = -2x + 9x$
||
$f_3(x) = 7 + 3x$
&
$f_4(x) = 12x^2 + 6x + 2$
||
$f_5(x) = -2x - 2x^2 + 6$
&
$\displaystyle f_6(x) = \frac{-2}{6x + 1}$
||
$\displaystyle f_7(x) = \sqrt{x}$
&
$\displaystyle f_8(x) = (4x -9 )^2$
||
$\displaystyle f_9(x) = \frac{5}{1 - x^2} $
&
$\displaystyle f_{10}(x) = \sqrt{x^2-1} $
$f$ est une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et $a$ un réel de $I$. $f$ admet un *{bold::maximum local} (respectivement *{bold::minimum local}) en $a$ s'il existe un intervalle ouvert $J = ]\alpha ;\beta[$ ($\alpha < \beta $) contenu dans $I$ tel que pour tout $x \in J$, $f(x) \leqslant f(a)$ (respectivement $f(x) \geqslant f(a)$) vspace{10} $f$ admet un *{bold::extremum local} signifie que $f$ admet un maximum local ou un minimum local.
On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x^2 + 10x + 5$ sur $\mathbb{R}$ :
Construire un tableau de variations de $f$.
Dans un repère orthonormé, construire la courbe représentative de $\mathcal{C}_f$ de $f$.
Démontrer que $f$ possède un extrémum local.
$\bullet$ $f$ est une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et $a$ un réel de $I$. Si $f$ admet un extremum local alors $f'(a) = 0$ vspace{10} $\bullet$ $f$ est une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et $a$ un réel de $I$. Si $f'$ s'annule en changeant de signe en $a$ alors $f$ admet un extremum local.
On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = -3x^2 + 6x -1$ sur $\mathbb{R}$ :
Construire un tableau de variations de $f$.
Dans un repère orthonormé, construire la courbe représentative de $\mathcal{C}_f$ de $f$.
Démontrer que $f$ possède un extrémum local.
Déterminer la réel $a$ tel que $f'(a) = 0$.
vspace{10} Construire un tableau de signes de la dérivée des fonctions suivantes sur leur ensemble de définition puis déterminer si ces fonctions admettent un extrémum local :
$f_1(x) = 7x^2 + 5x + 2$
&
$f_2(x) = x^3$
||
$f_3(x) = -x^3 + 30x^2$
&
$f_4(x) = 4x^4$
||
$f_5(x) = 2x^3 + 3x^2$
&
$\displaystyle f_6(x) = \frac{-3}{3x+1}$
Déterminer l'ensemble de définition puis les variations de la fonction $f$ définie par :
$f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5$
&
$f(x) = -x^3 + 2x - 3$
||
$f(x) = x^4 - x^2 + 2$
&
$f(x) = x^5 - x^3$
||
$\displaystyle f(x) = (x-1)\sqrt{x}$
&
$\displaystyle f(x) = x + \frac{1}{x}$
||
$\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^2+1}$
&
$\displaystyle f(x) = \frac{x^2+x+1}{x^2-1}$
||
$\displaystyle f(x) = \frac{(x+1)^2}{x^3}$
&
$\displaystyle f(x) = \frac{10\sqrt{x}}{x+1}$
||
$\displaystyle f(x) = x + \frac{1}{2x^2}$
&
$\displaystyle f(x) = 3 + 6x^2-9x$
On étudie dans cet exercice le problème suivant : "Pour un rectangle d'aire $x$ fixée, quelles sont les valeurs $y$ possibles de son périmètre ?" On note $l$ et $L$ les dimensions du rectangle.
Étude d'un cas particulier : $x = 36$.
Exprimer $y$ en fonction de $l$.
Déterminer les variations de $y : l \mapsto y(l)$
Répondre au problème posé.
Étudier le cas général.
Soit $f$ définie par $f (x) = x^3 + x^2 + x$.
Déterminer l'ensemble de définition de $f$ .
Déterminer $f'(x)$ puis étudier son signe.
En déduire les variations de $f$.
Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ et par : $\displaystyle f: x \mapsto \frac{12}{x^2+4}$ On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative. Soit $M \in \mathcal{C}_f$ et $H$ son projeté orthogonal sur l'axe des abscisses. Le but de l'exercice est de déterminer l'aire maximale $\mathcal{A}_{OHM}$ de $OHM$, ainsi que la ou les positions du point $M$ rendant cette aire maximale. Soit $x$ l'abscisse de $M$.
Étudier les variation de $f$ sur $[0;+\infty[$ puis tracer $\mathcal{C}_f$ dans un repère orthonormé.
Placer le point $M$ d'abscisse $2$ puis placer $H$.
Calculer l'aire de $OHM$.
Déterminer une expression de la fonction : $\mathcal{A} : x \mapsto \mathcal{A}_{OHM}$.
Déterminer les variations de cette fonction sur son ensemble de définition, que l'on précisera.
Répondre au problème posé.
Une entreprise fabrique des biens. On note $q$ la quantité de biens produits, $C(q)$ le coût de production de $q$ unités et $R(q) = qp$ la recette issue de la vente de ces $q$ unités, au prix de $p$ \euro{} l'unité. Pour finir, on note $\pi(q) = R(q) -C(q)$ le profit réalisé.
Donner une condition nécessaire et suffisante au fait que $\pi(q)$ admette un maximum en $q_0$.
Expliquer comment on aurait pu intuitivement trouver cette condition sans faire aucun calcul.
On donne $C(q) = 0, 01q^3 - 0,135q^2 + 0, 6q + 15$ milliers d'euros et $p = 2, 7$ milliers d'euros.
Déterminer graphiquement la quantité $q_0$ réalisant le profit maximal.
Retrouver ce résultat algébriquement.
On considère une boîte de conserve classique de forme cylindrique. Pour un volume $\mathcal{V}$ donné, on souhaite minimiser la quantité de métal utilisé pour confectionner cette boîte. On note $r$ le rayon de la base et $h$ la hauteur.
Démontrer que la surface $\mathcal{S}$ de métal utilisé est : $\displaystyle \mathcal{S}(r) = 2\pi r^2 + \frac{2\mathcal{V}}{r}$
Étudier la fonction $\mathcal{S}$ sur son ensemble de définition, que l'on précisera.
En déduire les dimensions de la boîte répondant au problème.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par : $ f(x) = x^2 + x - \frac{1}{x}$
Déterminer $f '(x)$. Démontrer que $-1$ est une racine évidente de : $x \mapsto 2x^3 + x^2+1$
On a donc $2x^3 +x^2 +1 = (x+1)(ax^2 +bx+c)$, où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels. Déterminer $a$, $b$ et $c$.
À l'aide des question *{bold::2.} et *{bold::3.} étudier le signe de $f '(x)$.
En déduire les variations de $f$.
On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = \sqrt{30+5x-5x^2}$.vspace{10} On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
Déterminer soigneusement l'ensemble de définition de $f$.
Déterminer la dérivée de $f$.
Dresser le tableau de variations de $f$.
Démontrer que $f$ possède un extremum. On précisera sa valeur.
Déterminer l'équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$.
Tracer soigneusement $\mathcal{C}_f$ et $T$.
On considère la fonction $g$ définie par $g(x) = \dfrac{-36+4x^2}{12x + 2x^2 + 2}$.vspace{10} On note $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
Déterminer soigneusement l'ensemble de définition de $g$.
Déterminer la dérivée de $g$.
Dresser le tableau de variations de $g$.
Démontrer que $g$ possède un extremum sur $]-6;-1[$. On précisera sa valeur.
Déterminer l'équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse $-1$.
Tracer soigneusement $\mathcal{C}_g$ et $T$.