$f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$. $x_1$ et $x_2$ sont deux réels distincts appartenant à $I$, l'*{bold::accroissement moyen} de $f$ entre $x_1$ et $x_2$ est : vspace{10} $\displaystyle \frac{\Delta f}{\Delta x}(x_1;x_2) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2-x_1}$ vspace{10} On peut noter $x_1 = a$ et $x_2 = a +h$ avec $h \not= 0$, on obtient alors : vspace{10} $\displaystyle \frac{\Delta f}{\Delta x}(a) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$
$\frac{\Delta f}{\Delta x}(x_1;x_2) $ est le coefficient directeur de la droite sécante à la courbe représentative $C_f$ de $f$ passant par les points $A(x_1;f(x_1))$ et $B(x_2;f(x_2))$.
vspace{10} Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = 3 - 4x$ sur $\mathbb{R}$ :
Calculer $\displaystyle \frac{\Delta f}{\Delta x}(-2;-1)$
&
Calculer $\displaystyle \frac{\Delta f}{\Delta x}(2)$ pour $h = 0,75$
vspace{20} Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = x^2-1$ sur $\mathbb{R}$ :
Calculer $\displaystyle \frac{\Delta g}{\Delta x}(-1;2)$
&
$\displaystyle \frac{\Delta g}{\Delta x}(3)$ pour $h = 0,5$
Si quand $h$ se rapproche de $0$ (on dit que $h$ tend vers $0$ et on note $h \longrightarrow 0$) alors $\frac{\Delta f}{\Delta x}(a)$ tend vers un réel $l$ alors : vspace{5} \num1 la fonction $f$ est *{bold::dérivable} en $a$ vspace{5} \num2 $l$ est le *{bold::nombre dérivé} de $f$ en $a$ noté $f'(a)$ : vspace{10} $\displaystyle \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \underset{h \rightarrow 0}{\longrightarrow} f'(a)$
vspace{10}
Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = 4 - 3x^2$ sur $\mathbb{R}$. Recopier et compléter le tableau suivant : vspace{10}
$h$ & $0,1$ & $0,01$ & $0,001$ & $0,0001$ & $0,00001$ || $ \dfrac{\Delta g}{\Delta x}(2)$ & & & & &
vspace{10} $g$ est-elle dérivable en $2$ ? Si oui donner $g'(2)$.
vspace{30}
Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = 6x - 8$ sur $\mathbb{R}$. Recopier et compléter le tableau suivant : vspace{10}
$h$ & $0,1$ & $0,01$ & $0,001$ & $0,0001$ & $0,00001$ || $ \dfrac{\Delta f}{\Delta x}(5)$ & & & & &
vspace{10} $f$ est-elle dérivable en $5$ ? Si oui donner $f'(5)$.
Dans le cas où la fonction $f$ est dérivable en $a$, la *{bold::tangente} $\mathcal{T}_a$ à la courbe représentative $C_f$ de $f$ au point $A(a;f(a))$ est la droite (position limite) de coefficient directeur $f'(a)$ et passant par $A$, son équation réduite est alors : vspace{10} $\displaystyle \mathcal{T}_a : y = f'(a)(x-a) + f(a)$ vspace{10}
La représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $\R$ et par $f(x) = x^3$ est tracée ci-contre. $f$ est dérivable en $1$ et $f'(1) = 3$.
La droite tracée en rouge est la tangente au point $A(1;f(1))$ et a pour équation : $\displaystyle \mathcal{T}_1 : y = f'(1)(x-1) + f(1) = 3x-2$ &
painterGrid(3) showMark() markUpdate(4,3,1,1,1,1,0,0) f1 = curveFunction('x^3',-10,10,0.0001) lineWidth(f1,2) foreground(f1,'#000000') f2 = curveFunction('3x-2',-10,10,0.0001) lineWidth(f2,2) foreground(f2,'#ff0000') A=point(5,4)
vspace{10} Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = x^2-4$ sur $\mathbb{R}$ dont $\mathcal{C}_g$ est la courbe représentative. vspace{10}
Recopier et compléter le tableau suivant :
$h$ & $0,1$ & $0,01$ & $0,001$ & $0,0001$ & $0,00001$ || $ \frac{\Delta g}{\Delta x}(1)$ & & & & &
vspace{10} $g$ est-elle dérivable en $1$ ? Si oui donner $g'(1)$.
vspace{20}
Donner l'équation de la tangente $\mathcal{T}_1$ de $\mathcal{C}_g$ en $x=1$ puis tracer $\mathcal{C}_g$ et $\mathcal{T}_1$.
Si pour tout réel $a \in I$, $f'(a)$ existe, on dit que $f$ est *{bold::dérivable} sur $I$. $I$ est le domaine de dérivabilité qu'on peut note $D_{f'}$. La *{bold::fonction dérivée}, notée $f'$, est définie sur $D_{f'}$ par : vspace{10} $\displaystyle f' : x \mapsto f'(x)$
Soit $f$ une fonction affine telle que $f(x) = mx+p$. Son ensemble de définition est : $D_f = \mathbb{R}$. Sa dérivée est $f'(x) = m$ et $D_{f'}= \mathbb{R}$
Donner la fonction dérivée de :
$f_1(x) = 5x -8$
&
$f_2(x) = -9$
&
$f_3(x) = 9x$
||
$f_4(x) = -x$
&
$f_5(x) = 6+x$
&
$f_6(x) = 2$
On jette une pierre dans un lac qui produit alors des ondes concentriques à la surface de l'eau. Si le rayon de l'onde croît à une vitesse de $5\;m\cdot s^{-1}$, à quelle vitesse croît la surface (circulaire) de cette onde lorsqu'elle a atteint un rayon de $12\;m$ ?
$m$ et $p$ sont deux réels et $n$ entier naturel.
$f(x)$ & $\mathcal{D}_f$ & $f'(x)$ & $\mathcal{D}_{f'}$ || $f(x) = mx+p$ & $\R$ & $f'(x) = m$ & $\R$ || $f(x) = x^2$ & $\R$ & $f'(x) = 2x$ & $\R$ || $f(x) = x^n$ & $\R$ & $f'(x) = nx^{n-1}$ & $\R$ || $f(x) = \dfrac{1}{x}$ & $\R^*$ & $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$ & $\R^*$ || $f(x) = \sqrt{x}$ & $[0;+\infty[$ & $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ & $]0;+\infty[$ || $f(x) = \cos{(x)}$ & $\R$ & $f'(x) = -\sin{(x)}$ & $\R$ || $f(x) = \sin{(x)}$ & $\R$ & $f'(x) = \cos{(x)}$ & $\R$
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\R$. Soit $a$ et $b$ deux réels et $g$ une fonction définie par $g(x) = f(ax+b)$. La fonction $g$ est alors dérivable sur $I$ et $g'(x) = [f(ax+b)]' = a\times f'(ax+b)$
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :
$\displaystyle f_1(x) = \frac{1}{-3x+7}$
&
$\displaystyle f_2(x) = \sqrt{2x-9}$
&
$f_3(x) = x^5$
||
$f_4(x) = \sin{(7x-\pi)}$
&
$\displaystyle f_5(x) = \cos{\Big(\frac{1}{3}x+\frac{\pi}{3}\Big)}$
&
$\displaystyle f_6(x) = \sin{(-x-\frac{\pi}{4})}$
Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle $I$ alors la fonction $(u+v)(x) = u(x) + v(x)$ est dérivable sur $I$ et : $\displaystyle (u+v)' (x)= u'(x) + v'(x)$
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :
$\displaystyle f_1(x) = \sqrt{2x-7} + \frac{1}{-8x+7}$
&
$\displaystyle f_2(x) = \sqrt{2x-9} - \dfrac{1}{9-2x}$
||
$f_3(x) = x^5 + \cos{{(5-6x)}}$
&
$f_4(x) = \sin{(x-\pi)} + \cos{(6x)}$
||
$\displaystyle f_5(x) = \cos{\Big(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{6}\Big)} - \sqrt{\pi x - 8}$
&
$\displaystyle f_6(x) = \sin{(-2x-\frac{\pi}{3})} + x^9$
Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ et $k$ un réel alors la fonction $(ku)(x) = k\times u(x)$ est dérivable sur $I$ et : $\displaystyle (ku)' (x)= k\times u'(x)$
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :
$\displaystyle f_1(x) = -2\sqrt{2x-7}$
&
$\displaystyle f_2(x) = \dfrac{-8}{9+2x}$
&
$f_3(x) = -8x^6$
||
$f_4(x) = 9\sin{(3x-\pi)} $
&
$\displaystyle f_5(x) =\dfrac{-8}{7x-9}$
&
$\displaystyle f_6(x) = -2\cos{(-2x-\frac{\pi}{3})}$
Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle $I$ alors la fonction $(u\times v)(x) = u(x) \times v(x)$ est dérivable sur $I$ et : $\displaystyle (uv)' (x)= u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x)$
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :
$f_1(x) = x^2\sqrt{3x-8}$
&
$\displaystyle f_2(x) = (8 - 2\cos{x})\frac{1}{x} $
&
$f_3(x) = (2\sin{(-8x-2)} - 1)x^2$
||
$\displaystyle f_4(x) = \sqrt{x}\times \frac{1}{x}$
&
$\displaystyle f_5(x) = \sin{x}\cos{x}$
&
$\displaystyle f_6(x) =(6x - 8)(9x^2 + 2x -5)$
||
$\displaystyle f_7(x) = \frac{1}{x}\times \frac{1}{x}$
&
$\displaystyle f_8(x) = \sqrt{2-3x}\sqrt{6x-6}$
&
$\displaystyle f_9(x) =\sqrt{x}\cos{(x)}$
Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ telle que pour tout $x\in I$, $u(x) \not= 0$ alors la fonction $\Big(\displaystyle \frac{1}{u}\Big)(x) = \frac{1}{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et : $\displaystyle \Big(\frac{1}{u}\Big)' (x)= -\frac{v'(x)}{v^2(x)}$
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :
$\displaystyle f_1(x) = \frac{1}{x^2}$
&
$\displaystyle f_2(x) = \frac{1}{3x-9} $
&
$\displaystyle f_3(x) = \frac{1}{x^3+1}$
||
$\displaystyle f_4(x) = \frac{1}{\sin{x}}$
&
$\displaystyle f_5(x) = \frac{1}{\sqrt{7x-9}}$
&
$\displaystyle f_6(x) = \frac{1}{\cos{(4x-\pi)}}$
Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle $I$ telles que pour tout $x\in I$, $v(x) \not= 0$ alors la fonction $\Big(\displaystyle \frac{u}{v}\Big)(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ est dérivable sur $I$ et : $\displaystyle \Big(\frac{u}{v}\Big)' (x)= \frac{u'(x) \times v(x) - u(x) \times v'(x)}{v^2(x)}$
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :
$\displaystyle f_1(x) = \frac{5x -9}{\sqrt{x}}$
&
$\displaystyle f_2(x) = \frac{7x+9}{x^6 - 3x^2} $
&
$\displaystyle f_3(x) = \frac{\sqrt{x}}{9 - 8x}$
||
$\displaystyle f_4(x) = \frac{\sin{x}}{\cos{(8x-8)}}$
&
$\displaystyle f_5(x) = \frac{\cos^2{7x-9}}{\sin{(x)}}$
&
$\displaystyle f_6(x) = \frac{(x+1)^2}{(x-1)^3} $
||
$\displaystyle f_7(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x}}$
&
$\displaystyle f_8(x) = \frac{x^2-1}{x^2+1}$
&
$\displaystyle f_9(x) = \frac{6x^3-x^2}{2x^2 - 5x^3} $
Soient $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $J$ de $\mathbb{R}$ et $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ telle que pour tout $x \in I$, $u(x) \in J$. La fonction $g$ définie par $g(x) = f\Big(u(x)\Big)$ est dérivable sur $I$ et : $\displaystyle g'(x) = u'(x) \times f'\Big(u(x)\Big)$
Soient $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et $n$ un entier naturel tel que $n > 0$. La fonction $f$ définie par $f(x) = \Big(u(x)\Big)^n$ est dérivable sur $I$ et : $\displaystyle f'(x) = n \times u'(x) \times \Big(u(x)\Big)^{n-1}$
Soient $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ telle que $u(x) \not= 0$ pour tout $x \in I$ et $n$ un entier naturel tel que $n < 0$. La fonction $f$ définie par $f(x) = \Big(u(x)\Big)^n$ est dérivable sur $I$ et : $\displaystyle f'(x) = n \times u'(x) \times \Big(u(x)\Big)^{n-1}$
Soient $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ telle que $u(x) > 0$ pour tout $x \in I$. La fonction $f$ définie par $f(x) = \sqrt{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et : $\displaystyle f'(x) = \dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :
$\displaystyle f_1(x) = \frac{1}{x^2-3x+1}$
&
$\displaystyle f_2(x) = \sqrt{2x^3 + x^2 - 7}$
||
$\displaystyle f_3(x) = \Big(\frac{1}{x} - 4 + \cos{x}\Big)^2$
&
$\displaystyle f_4(x) = \sqrt{\frac{1}{x}+7x^2}$
||
$\displaystyle f_5(x) = \sqrt{x^7- \sin{x}}$
&
$\displaystyle f_6(x) = \Big(9 + \sqrt{x} \Big)^2 $
||
$\displaystyle f_7(x) = \cos{(8 -9x)} $
&
$\displaystyle f_8(x) = \frac{3}{\cos{x}+\sin{x}} $
||
$\displaystyle f_9(x) = \sin{(6x^2+9x)} $
&
$\displaystyle f_{10}(x) = \Big( x^3 - 9x^2+6\Big)^2 $
||
$\displaystyle f_{11}(x) = \sqrt{\sin{(4x - \pi)}} $
&
$\displaystyle f_{12}(x) = \frac{1}{\sqrt{7x - 9}} $
||
$\displaystyle f_{13}(x) = \Big( \sqrt{6x -9}{}\Big)^3 $
&
$\displaystyle f_{14}(x) = \Big(\frac{1}{2x-2}\Big)^5 $
Donner l'ensemble de dérivabilité de $f$ puis calculer sa dérivée :
$\displaystyle f(x) = (4x-3)^2$
&
$\displaystyle f(x) = (3x^2-4x)^3$
&
$\displaystyle f(x) = (2x^2-3x+1)^2$
||
$\displaystyle f(x) = (x^3+2x)^2$
&
$\displaystyle f(x) = (x^3+4x^2+5)^4$
&
$\displaystyle f(x) = 2x^2 - (2x-1)^2$
||
$\displaystyle f(x) =\frac{2}{(x+1)^3}$
&
$\displaystyle f(x) =\frac{3}{(2x+1)^4}$
&
$\displaystyle f(x) =\frac{4}{(x^3-1)^3}$
||
$\displaystyle f(x) =\frac{5}{(2x^2+3)^2}$
&
$\displaystyle f(x) =\frac{5}{3(x-1)^4}$
&
$\displaystyle f(x) =\frac{3}{(3x^2+5)^2}$
||
$\displaystyle f(x) =\frac{5}{3(x-2)^4}$
&
$\displaystyle f(x) =2\Big(\frac{x}{x+1}\Big)^{3}$
&
$\displaystyle f(x) =2\Big(\frac{x+1}{x+2}\Big)^{-2}$
||
$\displaystyle f(x) =(x-2)^3 + \frac{1}{(x-2)^3}$
&
$\displaystyle f(x) =\cos^3{x}$
&
$\displaystyle f(x) = 3\cos{x} + 2\sin^2{x}$
||
$\displaystyle f(x) = 3x^2\cos{7x - 8} $
&
$\displaystyle f(x) = \frac{\cos{(7-3x)}}{x^2}$
&
$\displaystyle f(x) = \frac{x\sin{(3x-4)}}{2x^2+8}$
||
$\displaystyle f(x) =\sqrt{x}\sin{8x^2-2}$
&
$\displaystyle f(x) =\sin{(8x^2 + 6x)}\sqrt{x-3}$
&
$\displaystyle f(x) =\sqrt{\cos^2{(6x+2)}}$
Déterminer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ :
$\displaystyle f : x \mapsto -\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2 $ définie sur $\mathbb{R}$, $a = -1$
&
$\displaystyle f : x \mapsto \frac{x-2}{x+1} $ définie sur $\mathbb{R}\backslash \{ -1\}$, $a = 2$
||
$\displaystyle f : x \mapsto \frac{x}{x+1} $ définie sur $\mathbb{R}\backslash \{ -1\}$, $\displaystyle a = \frac{1}{3}$
&
$\displaystyle f : x \mapsto 4x^2 - 3x +2 $ définie sur $\mathbb{R}$, $\displaystyle a = 0$
||
$\displaystyle f : x \mapsto \frac{3x+1}{2-x}$ définie sur $\mathbb{R}\backslash \{ 2\}$, $\displaystyle a = -1$
&
$\displaystyle f : x \mapsto x\sqrt{x}$ définie sur $\mathbb{R}^{+}$, $\displaystyle a = 1$
On considère une flaque d'eau circulaire de 1$\;mm$ de profondeur crée par un robinet qui fuit. On note $r(t)$ le rayon (en $cm$) de la flaque en fonction du temps $t$ (en s) et $V(t)$ le volume correspondant (en $cm^3$).
Donner la relation entre $V(t)$ et $r(t)$.
En déduire la relation entre $V'(t)$ et $r'(t)$. Que représentent physiquement $V'(t)$ et $r'(t)$ ?
Sachant que le robinet fuit à un débit de $1\;cm^3\cdot s^{-1}$, déterminer la vitesse d'augmentation radiale (du rayon) de la flaque lorsque celle-ci a atteint un volume de $2\;cm^3$.
Soit $\displaystyle f: x \mapsto \frac{x}{x+1}$ définie sur $\mathbb{R}\backslash \{ -1\}$. vspace{10}Existe-t-il des points de la courbe dont la tangente a pour coefficient directeur $ \frac{1}{4}$ ? Si oui, les déterminer.