La *{bold::valeur absolue} d'un nombre réel $x$ est le nombre $|x|$ tel que :
$\bullet$ $|x| = x$ si $x \geqslant 0$
$\bullet$ $|x| = -x$ si $x \leqslant 0$ vspace{10} La *{bold::valeur absolue} $|x|$ correspond à la distance à zéro de $x$.
\num1 $|x| \geqslant 0$ & \num2 $\sqrt{x^2} = |x|$ & \num3 $|x| = |-x|$ & \num4 $|x| = 0 \Leftrightarrow x = 0$
Sur la droite des réels muni d'un repère d'origine $O$ :
\num1 si $M(x)$ alors $OM = |x|$ & \num2 si $A(a)$ et $B(b)$ alors $AB = |a-b| = |b-a|$
Calculer les expressions suivantes :
$A = |2 +2\times5 - 9 + 1 -5|$
&
$B = |2\times 6 - 100\div 10 - 9|$
||
$C = |-(6-8)\times (-2-3) - (15-5)\div (-7+2)|$
&
$D = |-2\times (-2) \times (-3) - (18-3)\div 3|$
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
$|5x -9| = 8$
&
$|2 - x| = -1$
&
$\sqrt{(7x -9)^2} = 3$
||
$\sqrt{4x^2 + 9 + 12x} = 2$
&
$\sqrt{-70x + 25x^2 + 49 } = 10$
&
$|2x - 8| = |5x - 8|$
||
$|x - 7| = 2|3x - 1|$
&
$\sqrt{(8 -9x)^2} = \sqrt{(4x - 2)^2}$
&
$\displaystyle \frac{|x - 2|}{|5 - 8x|} = 1$
||
$\displaystyle \frac{|5x - 1|}{|2 - x|} = 2$
&
$\displaystyle \frac{\sqrt{(3x-2)^2} }{\sqrt{(1 + 2x)^2} } = 3$
&
$\sqrt{18x + x^2 + 81} = \sqrt{16 + 36x^2 - 48x}$
&
$\sqrt{18x + x^2 + 81} = \sqrt{16 + 36x^2 - 48x}$
vspace{10}
Une droite est munie d’un repère $(O ;I)$. Sur cette droite, on considère les points $A$ et $B$ d’abscisses respectives $−3$ et $2,5$. Calculer les distances $OA$, $AB$ et $BI$.
vspace{40} Calculer la distance entre les réels a et b dans chacun des cas suivants.
$a=7$ et $b=-5$
&
$a=-3$ et $b=-8$
||
$a=-5,1$ et $b=2,3$
&
$a=\sqrt{2}$ et $b=-\sqrt{8}$
||
$a=6$ et $b=2\pi$
&
$a=\frac{1}{3}$ et $b=\frac{1}{4}$
Une fonction *{bold::valeur absolue} $f$ est définie par $f(x) = |a x +b|$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels tels que $a\not=0$.
Soit $f$ une fonction valeur absolue telle que $f(x) = |a x +b|$ alors son ensemble de définition est :
$\mathcal{D}_f = ]-\infty;+\infty[ = \R$
On considère une fonction valeur absolue $f(x) = |a x +b|$ avec $a \not= 0$. Si $a=0$ cette fonction valeur absolue est *{bold::constante} et vaut $f(x) = |b|$. vspace{10}
si $a > 0$ & si $a < 0$ || move(10,5) down('h-10') right('w-20') up('h-10') left('w-20') move(70,5) down('h-10') move(10,50) right('w-20') math('x',30,15,{fontSize: '14pt'}) math('-\\infty','lastX+45','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('-\\frac{b}{a}','w-180','lastY',{fontSize: '14pt'}) math("f",30,'h-60',{fontSize: '14pt'}) arrow('->') move(85,'h-80') line(120,60) math("0",'w-180','lastY-10',{fontSize: '14pt'}) move('lastX+25','lastY+10') line(120,-60) & move(10,5) down('h-10') right('w-20') up('h-10') left('w-20') move(70,5) down('h-10') move(10,50) right('w-20') math('x',30,15,{fontSize: '14pt'}) math('-\\infty','lastX+45','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('-\\frac{b}{a}','w-180','lastY',{fontSize: '14pt'}) math("f",30,'h-60',{fontSize: '14pt'}) arrow('->') move(85,'h-80') line(120,60) math("0",'w-180','lastY-10',{fontSize: '14pt'}) move('lastX+25','lastY+10') line(120,-60)
Pour chaque fonction suivante, donner l'ensemble de définition puis dresser le tableau de variation :
$f_{1}(x) = |4x - 6|$
&
$f_{2}(x) = |-3x +9|$
&
$f_{3}(x) = |-3x|$
||
$f_{4}(x) = |x|$
&
$f_{5}(x) = |6-2x|$
&
$f_{6}(x) = |2+8x|$
||
$f_{7}(x) = |6x|$
&
$f_{8}(x) = |2(5 - 2x)|$
&
$f_{9}(x) = |-3(2x+1)|$
||
On considère une fonction valeur absolue $f(x) = |a x +b|$. La représentation graphique $\mathcal{C}_f$ est : vspace{10}
si $a > 0$ & si $a < 0$ || mark({cmy: 2, Ox : '4cm',Oy: '4cm'}) grid(3) width(4) curve('abs(2x-2)',-10,10) & mark({cmy: 2, Ox : '5cm',Oy: '4cm'}) grid(3) width(4) curve('abs(-3x-6)',-10,10)
Pour chaque fonction suivante, tracer sa représentation graphique :
$f_{1}(x) = |2x - 6|$
&
$f_{2}(x) = |-3x +6|$
&
$f_{3}(x) = |-2x|$
||
$f_{4}(x) = |x|$
&
$f_{5}(x) = |3-3x|$
&
$f_{6}(x) = |16+8x|$
||
$f_{7}(x) = |4x|$
&
$f_{8}(x) = |2(1 - 2x)|$
&
$f_{9}(x) = |-2(2x+3)|$
||