Une fonction *{bold::racine carrée} $f$ est définie par $f(x) = \sqrt{a x +b}$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels tels que $a\not=0$. (c'est la racine carrée d'une fonction affine).
Soit $f$ une fonction racine carrée telle que $f(x) = \sqrt{a x +b}$ alors son ensemble de définition est :
$\mathcal{D}_f = [\frac{-b}{a};+\infty[$ si $a > 0$ et $\mathcal{D}_f = ]-\infty;\frac{-b}{a}]$ si $a<0$
En effet comme on ne peut pas avoir de nombre négatif sous la racine carrée, il faut donc que $ax+b \geqslant 0$
On considère une fonction racine carrée $f(x) = \sqrt{a x +b}$ avec $a \not= 0$. Si $a=0$ cette fonction racine carrée est *{bold::constante} et vaut $f(x) = \sqrt{b}$ si $b \geqslant 0$. vspace{10}
si $a > 0$ & si $a < 0$ || move(10,5) down('h-10') right('w-20') up('h-10') left('w-20') move(70,5) down('h-10') move(10,50) right('w-20') math('x',30,15,{fontSize: '14pt'}) math('\\frac{-b}{a}','lastX+45','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) math("f",30,'h-60',{fontSize: '14pt'}) arrow('->') move(85,'h-20') line(160,-40) & move(10,5) down('h-10') right('w-20') up('h-10') left('w-20') move(70,5) down('h-10') move(10,50) right('w-20') math('x',30,15,{fontSize: '14pt'}) math('-\\infty','lastX+45','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('\\frac{-b}{a}','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) math("f",30,'h-60',{fontSize: '14pt'}) arrow('->') move(85,'h-60') line(160,40)
Pour chaque fonction suivante, donner l'ensemble de définition puis dresser le tableau de variation :
$f_{1}(x) = \sqrt{4x - 6}$
&
$f_{2}(x) = \sqrt{-3x +9}$
&
$f_{3}(x) = \sqrt{-3x}$
||
$f_{4}(x) = \sqrt{x}$
&
$f_{5}(x) = \sqrt{6-2x}$
&
$f_{6}(x) = \sqrt{2+8x}$
||
$f_{7}(x) = \sqrt{6x}$
&
$f_{8}(x) = \sqrt{2(5 - 2x)}$
&
$f_{9}(x) = \sqrt{-3(2x+1)}$
||
On considère une fonction racine carrée $f(x) = \sqrt{a x +b}$. La représentation graphique $\mathcal{C}_f$ est : vspace{10}
si $a > 0$ & si $a < 0$ || mark({cmy: 2, Ox : '1cm',Oy: '4cm'}) grid(3) width(4) curve('sqrt(2x-2)',-10,10) & mark({cmy: 2, Ox : '9cm',Oy: '4cm'}) grid(3) width(4) curve('sqrt(-3x-6)',-10,10)
Pour chaque fonction suivante, tracer sa représentation graphique :
$f_{1}(x) = \sqrt{2x - 6}$
&
$f_{2}(x) = \sqrt{-3x +6}$
&
$f_{3}(x) = \sqrt{-2x}$
||
$f_{4}(x) = \sqrt{x}$
&
$f_{5}(x) = \sqrt{3-3x}$
&
$f_{6}(x) = \sqrt{16+8x}$
||
$f_{7}(x) = \sqrt{4x}$
&
$f_{8}(x) = \sqrt{2(1 - 2x)}$
&
$f_{9}(x) = \sqrt{-2(2x+3)}$
||
On considère une fonction racine carrée $f(x) = \sqrt{a x +b}$ : vspace{10}
si $a > 0$ & si $a < 0$ || move(10,5) down('h-10') right('w-20') up('h-10') left('w-20') move(70,5) down('h-10') move(10,50) right('w-20') math('x',30,15,{fontSize: '14pt'}) math('\\frac{-b}{a}','lastX+45','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+','190','h-40',{fontSize: '14pt'}) //math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) //math('\\frac{-b}{a}','w-170','lastY',{fontSize: '14pt'}) math("f(x)",20,'h-40',{fontSize: '14pt'}) & move(10,5) down('h-10') right('w-20') up('h-10') left('w-20') move(70,5) down('h-10') move(10,50) right('w-20') math('x',30,15,{fontSize: '14pt'}) math('-\\infty','lastX+45','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('\\frac{-b}{a}','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+','190','h-40',{fontSize: '14pt'}) //math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) //math('\\frac{-b}{a}','w-170','lastY',{fontSize: '14pt'}) math("f(x)",20,'h-40',{fontSize: '14pt'})
Pour chaque fonction suivante, dresser un tableau de signe sur son ensemble de définition :
$f_{1}(x) = \sqrt{3x - 6}$
&
$f_{2}(x) = \sqrt{-6x +6}$
&
$f_{3}(x) = \sqrt{-5x}$
||
$f_{4}(x) = \sqrt{x}$
&
$f_{5}(x) = \sqrt{6-3x}$
&
$f_{6}(x) = \sqrt{16+4x}$
||
$f_{7}(x) = \sqrt{8x}$
&
$f_{8}(x) = \sqrt{3(2 - 2x)}$
&
$f_{9}(x) = \sqrt{-4(x-2)}$
||
Soit $u$ une fonction définie sur $D_u$ telle pour tout $x \in D_u$ ; $u(x) \geqslant 0$.
La fonction $\sqrt{u}$ est définie sur $D_u$ et par : $(\sqrt{u})(x) =\sqrt{u(x)}$
Si $u$ est monotone sur un intervalle $I$ et si pour tout $x \in I$, $u(x) \geqslant 0$ alors la fonction $\sqrt{u}$ a le même sens de variation que $u$ sur $I$.
Construire un tableau de variation des fonctions suivantes sur leur ensemble de définition :
$f_1(x) = \sqrt{3x^2}$
&
$f_2(x) = \sqrt{\frac{1}{x}}$
&
$f_3(x) = \sqrt{\frac{1}{x^2}}$
&
$\displaystyle f_4(x) = \sqrt{\sqrt{x}} $
On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = \sqrt{-2x+4}$
Résoudre l'inéquation $-2x+4\geqslant 0$. En déduire l'ensemble de défintion de $f$
Pour deux réels $a$ et $b$ tels que $a \leqslant b$, calculer $f(a) - f(b)$
Dresser le tableau de variation de $f$
Dresser le tableau de signe de $f$
Tracer la représentation graphique de $f$
On considère la fonction $g$ définie par $g(x) = \sqrt{-2x^2 -2x+4}$ et on pose $h(x) = -2x^2 -2x+4$
Démontrer que $1$ et $-2$ sont les deux racines de $h$.
Déterminer la forme factorisée de $h$.
En déduire le tableau de variations et le tableau de signes de $h$
Déterminer alors l'ensemble de définition de $g$. Déterminer le tableau de variation de $g$
Tracer la représentation graphique de $g$
$g$ possède-t-elle un extremum ? Si oui le déterminer.