Une fonction *{bold::inverse} $f$ est définie par $f(x) = \dfrac{1}{a x +b}$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels tels que $a\not=0$. (c'est l'inverse d'une fonction affine).
Soit $f$ une fonction inverse telle que $f(x) = \dfrac{1}{a x +b}$ alors son ensemble de définition est :
$\mathcal{D}_f = \R\backslash\{\frac{-b}{a}\} = ]-\infty;\frac{-b}{a}[\cup ]\frac{-b}{a};+\infty[$
En effet comme on ne peut pas "diviser" par $0$, il faut donc que $ax+b \not=0$
On considère une fonction inverse $f(x) = \dfrac{1}{a x +b}$ avec $a \not= 0$. Si $a=0$ cette fonction inverse est *{bold::constante} et vaut $f(x) = \frac{1}{b}$. vspace{1}
si $a > 0$ & si $a < 0$ || move(10,5) down('h-10') right('w-20') up('h-10') left('w-20') move(70,5) down('h-10') move(10,50) right('w-20') math('x',30,15,{fontSize: '14pt'}) math('-\\infty','lastX+45','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('\\frac{-b}{a}','w-125','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) math("f",30,'h-60',{fontSize: '14pt'}) arrow('->') move(85,'h-70') line(70,50) arrow('-') line('w-112',50,'w-112','h-5') line('w-116',50,'w-116','h-5') arrow('->') move(185,'h-70') line(70,50) & move(10,5) down('h-10') right('w-20') up('h-10') left('w-20') move(70,5) down('h-10') move(10,50) right('w-20') math('x',30,15,{fontSize: '14pt'}) math('-\\infty','lastX+45','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('\\frac{-b}{a}','w-125','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) math("f",30,'h-60',{fontSize: '14pt'}) arrow('->') move(85,'h-20') line(70,-50) arrow('-') line('w-112',50,'w-112','h-5') line('w-116',50,'w-116','h-5') arrow('->') move(185,'h-20') line(70,-50)
Pour chaque fonction inverse suivante, dresser le tableau de variation :
$f_{1} = \dfrac{1}{2x-4}$
&
$f_{2} = \dfrac{1}{12 - 6x}$
&
$f_{3} = \dfrac{1}{-x-2}$
||
$f_{4} = \dfrac{1}{x}$
&
$f_{5} = \dfrac{1}{\frac{x}{3}+1}$
&
$f_{6} = \dfrac{1}{2 - \sqrt{2}x}$
On considère une fonction inverse $f(x) = \dfrac{1}{a x +b}$. La représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de $f$ est une *{bold::hyperbole}. vspace{1}
si $a > 0$ & si $a < 0$ || mark({center: 'middle'}) grid(3) width(4) curve('1/(2x+2)',-10,10) & mark({center: 'middle'}) grid(3) width(4) curve('1/(-3x+3)',-10,10)
Pour chaque fonction inverse suivante, tracer la représentation graphique :
$f_{1} = \dfrac{1}{3x-9}$
&
$f_{2} = \dfrac{1}{2 - 4x}$
&
$f_{3} = \dfrac{1}{-x-1}$
||
$f_{4} = \dfrac{1}{x}$
&
$f_{5} = \dfrac{1}{\frac{x}{2}-1}$
&
$f_{6} = \dfrac{1}{1 - \sqrt{2}x}$
On considère une fonction inverse $f(x) = \dfrac{1}{a x +b}$ :
si $a > 0$ & si $a < 0$ || move(10,5) down('h-10') right('w-20') up('h-10') left('w-20') move(70,5) down('h-10') move(10,50) right('w-20') math('x',30,15,{fontSize: '14pt'}) math('-\\infty','lastX+45','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('\\frac{-b}{a}','w-170','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('-','130','h-40',{fontSize: '14pt'}) math('+','250','h-40',{fontSize: '14pt'}) //math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) //math('\\frac{-b}{a}','w-170','lastY',{fontSize: '14pt'}) width(1) line(188,50,188,'h-5') line(192,50,192,'h-5') math("f(x)",20,'h-40',{fontSize: '14pt'}) & move(10,5) down('h-10') right('w-20') up('h-10') left('w-20') move(70,5) down('h-10') move(10,50) right('w-20') math('x',30,15,{fontSize: '14pt'}) math('-\\infty','lastX+45','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('\\frac{-b}{a}','w-170','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+','130','h-40',{fontSize: '14pt'}) math('-','250','h-40',{fontSize: '14pt'}) //math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) //math('\\frac{-b}{a}','w-170','lastY',{fontSize: '14pt'}) width(1) line(188,50,188,'h-5') line(192,50,192,'h-5') math("f(x)",20,'h-40',{fontSize: '14pt'})
Déterminer le tableau de signe de chaque fonction suivante :
$f_{1} = \dfrac{-7}{x-4}$
&
$f_{2} = \dfrac{8}{6 - 3x}$
&
$f_{3} = \dfrac{-9}{-2x-2}$
||
$f_{4} = \dfrac{3}{x}$
&
$f_{5} = \dfrac{-1}{\frac{x}{3}+1}$
&
$f_{6} = \dfrac{3}{1 - \sqrt{3}x}$
Soit $u$ une fonction définie sur $D_u$ telle pour tout $x \in D_u$ ; $u(x) \not= 0$.
La fonction $\frac{1}{u}$ est définie sur $D_u$ et par : $(\frac{1}{u})(x) =\frac{1}{u(x)}$
Si $u$ est monotone sur un intervalle $I$ et si pour tout $x \in I$, $u(x) \not= 0$ alors la fonction $\displaystyle \frac{1}{u}$ a le sens de variation contraire à celui de $u$ sur $I$.
Construire un tableau de variation des fonctions suivantes sur leur ensemble de définition :
$f_{1} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$
&
$f_{2} = \dfrac{1}{x^2}$
&
$f_{3} = \dfrac{1}{x^2+1}$
Une fonction *{bold::homographique} $f$ est définie par $f(x) = \dfrac{ax+b}{cx +d}$ où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont quatre nombres réels tels que $c\not=0$. (c'est le quotient de deux fonctions affines).
Soit $f$ une fonction homographique telle que $f(x) = \dfrac{ax+b}{cx +d}$ alors son ensemble de définition est :
$\mathcal{D}_f = \R\backslash\{\frac{-d}{c}\} = ]-\infty;\frac{-d}{c}[\cup ]\frac{-d}{c};+\infty[$
En effet comme on ne peut pas "diviser" par $0$, il faut donc que $cx+d \not=0$
Pour chaque fonction homographique suivante, donner l'ensemble de définition :
$f_{1} = \dfrac{9x-8}{3x-4}$
&
$f_{2} = \dfrac{x}{12 - 4x}$
&
$f_{3} = \dfrac{8x-9}{-2x-7}$
||
$f_{4} = \dfrac{9-2x}{x}$
&
$f_{5} = \dfrac{-x-3}{\frac{2x}{7}-1}$
&
$f_{6} = \dfrac{\sqrt{3}x-8}{8 - 3\sqrt{2}x}$
Soit $f$ une fonction homographique telle que $f(x) = \dfrac{ax+b}{cx +d}$ avec $a\not=0$ et $c\not=0$ : vspace{50} hspace{300} Dans le cas où $\dfrac{-b}{a} \leqslant \dfrac{-d}{c}$ vspace{5} move(10,5) down('h-10') right('w-20') up('h-10') left('w-20') move(120,5) down('h-10') move(10,50) right('w-20') math('x',55,15,{fontSize: '14pt'}) math('-\\infty','lastX+70','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('\\frac{-b}{a}','245','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('\\frac{-d}{c}','395','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+','180','h-40',{fontSize: '14pt'}) math('-','320','h-40',{fontSize: '14pt'}) math('+','470','h-40',{fontSize: '14pt'}) width(1) dash(3) line(255,50,255,'h-5') math('0','250','h-40',{fontSize: '14pt'}) line(405,50,405,'h-50') math("f(x)",50,'h-40',{fontSize: '14pt'}) width(2) dash(0) line(10,'h-50','w-10','h-50') math("(cx+d)",30,'h-80',{fontSize: '14pt'}) math('-','180','h-80',{fontSize: '14pt'}) math('-','320','h-80',{fontSize: '14pt'}) math('+','470','h-80',{fontSize: '14pt'}) math('0','400','h-80',{fontSize: '14pt'}) line(403,'h-5',403,'h-50') line(407,'h-5',407,'h-50') line(10,'h-90','w-10','h-90') math("(ax+b)",30,'h-120',{fontSize: '14pt'}) math('-','180','h-120',{fontSize: '14pt'}) math('+','320','h-120',{fontSize: '14pt'}) math('+','470','h-120',{fontSize: '14pt'}) math('0','250','h-120',{fontSize: '14pt'}) area(true) back('#222222') alpha(0.3) rect(10,'h-49','w-20',44) back('#444444') alpha(0.2) rect(10,'5','110','h-54') vspace{50} hspace{300} Dans le cas où $\dfrac{-b}{a} \geqslant \dfrac{-d}{c}$ vspace{5} move(10,5) down('h-10') right('w-20') up('h-10') left('w-20') move(120,5) down('h-10') move(10,50) right('w-20') math('x',55,15,{fontSize: '14pt'}) math('-\\infty','lastX+70','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('\\frac{-d}{c}','245','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('\\frac{-b}{a}','395','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+','180','h-40',{fontSize: '14pt'}) math('-','320','h-40',{fontSize: '14pt'}) math('+','470','h-40',{fontSize: '14pt'}) width(1) dash(3) line(255,50,255,'h-50') math('0','400','h-40',{fontSize: '14pt'}) line(405,50,405,'h-5') math("f(x)",50,'h-40',{fontSize: '14pt'}) width(2) dash(0) line(10,'h-50','w-10','h-50') math("(cx+d)",30,'h-80',{fontSize: '14pt'}) math('-','180','h-80',{fontSize: '14pt'}) math('+','320','h-80',{fontSize: '14pt'}) math('+','470','h-80',{fontSize: '14pt'}) math('0','400','h-80',{fontSize: '14pt'}) line(10,'h-90','w-10','h-90') math("(ax+b)",30,'h-120',{fontSize: '14pt'}) math('-','180','h-120',{fontSize: '14pt'}) math('-','320','h-120',{fontSize: '14pt'}) math('+','470','h-120',{fontSize: '14pt'}) math('0','250','h-120',{fontSize: '14pt'}) line(253,'h-5',253,'h-50') line(257,'h-5',257,'h-50') area(true) back('#222222') alpha(0.3) rect(10,'h-49','w-20',44) back('#444444') alpha(0.2) rect(10,'5','110','h-54') vspace{20}
Pour chaque fonction homographique suivante, dresser un tableau de signes :
$f_{1} = \dfrac{2x - 9}{2x-6}$
&
$f_{2} = \dfrac{6-5x}{7 - 2x}$
&
$f_{3} = \dfrac{3x+1}{-2x-5}$
||
$f_{4} = \dfrac{-9+2x}{3x}$
&
$f_{5} = \dfrac{\frac{x}{7}-1}{\frac{x}{5}+1}$
&
$f_{6} = \dfrac{\sqrt{3}x - 2}{1 - 3\sqrt{2}x}$
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{x}{x+1}$ vspace{15}
Donner l'ensemble de définition de $f$
Dresser le tableau de signes de $f$
Recopier et compléter le tableau suivant :
vspace{15}
$x$ & $-4$ & $-3$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$|| $f(x)$ & & & & & & & & &
vspace{15}
Tracer la représentation graphique de $f$