Une fonction $f$ définie sur $\R$ est une *{bold::fonction polynôme du second degré} ou *{bold::fonction du second degré} si elle est de la forme $f(x) = ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels tels que $a \not= 0$.
La représentation graphique ou courbe représentative d'une fonction du second degré est une *{bold::parabole}. L'équation de la parabole est : $y = ax^2 + bx + c$
$\bullet$ L'expression algébrique $ax^2+bx+c$ est appelée *{bold::trinôme du second degré}. vspace{} $\bullet$ L'écriture $f(x) = ax^2+bx+c$ de la fonction $f$ est la *{bold::forme développée de $f$}.
Déterminer si les fonctions suivantes sont des fonctions du second degré et donner le cas échéant les trois coefficients $a$, $b$ et $c$ :
$f_1(x) = 6 -3x^2 + 2x$
&
$f_2(x) = 4 + 7x$
&
$f_3(x) = (6x - 7)^2$
||
$f_4(x) = (8+4x)^2$
&
$f_5(x) = (3x+7)(3x-7)$
&
$f_6(x) = 4(2x-3)^2$
La *{bold::forme canonique} de la fonction du second degré $f$ définie par $f(x) = ax^2+bx+c$ est : vspace{} $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ avec $\displaystyle \alpha = -\frac{b}{2a} $ et $\beta = f(\alpha)$. Cette *{bold::forme canonique} est *{bold::unique}.
Donner la forme canonique des fonctions du second degré suivantes :
$f_1(x) = 4x^2 + 5x + 9$
&
$f_2(x) = -3x^2 - 7x +9$
&
$f_3(x) = 7x - x^2 -10$
||
$f_4(x) = 9x^2 + 16 - 24x$
&
$f_5(x) = 81 - 49x^2$
&
$f_6(x) = 7 + \sqrt{140}x + 5x^2$
||
$f_7(x) = 6x^2 - 9x +1$
&
$f_8(x) = \frac{x^2}{3} - \frac{x}{6} + 1$
&
$f_9(x) = 4 -12x + 9x^2$
La parabole $C_f$, courbe représentative de la fonction du second degré $f$ de forme canonique $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ a pour sommet $S(\alpha;\beta)$
Donner la forme canonique des fonctions du second degré suivantes :
mark({Ox: '3cm',Oy: '4cm',cmy: 2}) grid(3) width(3) curve('2(x-1)^2-4',-10,10) & mark({Ox: '3cm',Oy: '3cm',cmy: 2}) grid(3) width(3) curve('-2(x+1)^2+2',-10,10) & mark({Ox: '2cm',Oy: '4cm',cmy: 2}) grid(3) width(3) curve('-4(x-2)^2+6',-10,10) || Parabole $C_{f_1}$ & Parabole $C_{f_2}$ & Parabole $C_{f_3}$
La parabole $C_f$, courbe représentative de la fonction du second degré $f$ de forme canonique $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ est symétrique par rapport à la droite verticale d'équation $x= \alpha$.
Tracer la courbe représentative des fonctions suivantes en traçant l'axe de symétrie : vspace{10}
$f_1(x) = (x-8)^2+2$
&
$f_2(x) = 2(x+1)^2+3$
&
$f_3(x) = -2(4+x)^2-3$
||
$f_4(x) = (3x-3)^2$
&
$f_5(x) = 6x^2-8x+3$
&
$f_6(x) = (2x+5)(2x-5)$
On considère la fonction du second degré $f$ de forme canonique $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ alors : vspace{} vspace{20}
si $a > 0$ & si $a < 0$ || move(10,5) down('h-10') right('w-20') up('h-10') left('w-20') move(70,5) down('h-10') move(10,50) right('w-20') math('x',30,15,{fontSize: '14pt'}) math('-\\infty','lastX+45','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+\\infty','lastX','lastY+35',{fontSize: '14pt'}) math('+\\infty','w-50','lastY-35',{fontSize: '14pt'}) math('+\\infty','lastX','lastY+35',{fontSize: '14pt'}) math('\\alpha','w-180','lastY-35',{fontSize: '14pt'}) math("f",30,'h-60',{fontSize: '14pt'}) arrow('->') move(85,'h-80') line(120,60) math("\\beta",'w-180','lastY-10',{fontSize: '14pt'}) move('lastX+25','lastY+10') line(120,-60) & move(10,5) down('h-10') right('w-20') up('h-10') left('w-20') move(70,5) down('h-10') move(10,50) right('w-20') math('x',30,15,{fontSize: '14pt'}) math('-\\infty','lastX+45','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('\\alpha','w-180','lastY',{fontSize: '14pt'}) math("f",30,'h-60',{fontSize: '14pt'}) arrow('->') move(85,'h-20') line(120,-60) math("\\beta",'w-180','lastY-10',{fontSize: '14pt'}) move('lastX+25','lastY+10') line(120,60) math('-\\infty','75','h-25',{fontSize: '14pt'}) math('-\\infty','75+270','h-25',{fontSize: '14pt'})
Construire le tableau de variations des fonctions du second degré suivantes : vspace{10}
$f_1(x) = -2(x-3)^2+2$
&
$f_2(x) = 4(x+2)^2+6$
&
$f_3(x) = (5x-8)(2-6x)$
||
$f_4(x) = (5x-3)^2$
&
$f_5(x) = 9x^2-2x+5$
&
$f_6(x) = (7x+8)(7x-8)$
||
$f_7(x) = (x-3)^2$
&
$f_8(x) = x^2-x+3$
&
$f_9(x) = (2x+3)(x-1)$
||
$f_{10}(x) = (3x+1)^2$
&
$f_{11}(x) = x^2-2x+1$
&
$f_{12}(x) = (2x+4)(x+1)$
On considère la fonction du second degré $f$ de forme canonique $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ alors : vspace{} $f$ admet $\beta$ comme extremum qui est atteint pour $x=\alpha$.
,, C'est un maximum si $a$ est négatif.
,, C'est un minimum si $a$ est positif.
Déterminer l'extremum des fonctions du second degré suivantes : vspace{10}
$f_1(x) = -(x-5)^2+1$
&
$f_2(x) = 4(x+2)^2+2$
&
$f_3(x) = (3x-9)(2-x)$
||
$f_4(x) = (7x-1)^2$
&
$f_5(x) = 10x^2-10x+2$
&
$f_6(x) = (6x+4)(6x-4)$
||
$f_7(x) = (9x+6)^2$
&
$f_8(x) = 6x^2-12x+9$
&
$f_9(x) = (x+2)(x-2)$
||
$f_{10}(x) = (5x+1)^2$
&
$f_{11}(x) = x^2-4x+4$
&
$f_{12}(x) = (2x+4)(2x-4)$
Une équation du type $ax^2 + bx+ c = 0$ avec $a$, $b$ et $c$ des nombres réels tels que $a \not=0$ est appelée *{bold::équation du second degré}.
$\Delta = b^2 - 4ac$ est le *{bold::discriminant} du trinôme du second degré $ax^2 + bx+ c$.
Déterminer le discriminant des équations du second degré suivantes : vspace{10}
$4x^2 + 5x -8 = 0$
&
$8x - x^2 +2 = 0$
&
$4(x+2)^2 - 8 = 0$
||
$-5(x-3)^2 + 1 = 0$
&
$4(x+2)^2= -6$
&
$(5x-8)(2-6x) = 0$
Les solutions de l'équation $ax^2 + bx+ c = 0$ sont appelées *{bold::racines} ou *{bold::zéros}.
Lorsque le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ est *{bold::positif} : vspace{} L'équation $ax^2 + bx+ c = 0$ possède *{tdu::2 racines} $x_1$ et $x_2$ avec $\displaystyle x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\displaystyle x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$
Lorsque le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ est *{bold::nul}, l'équation $ax^2 + bx+ c = 0$ possède *{tdu::1 racine} $x_0$ avec $\displaystyle x_0 = \frac{-b}{2a}$
Lorsque le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ est *{bold::négatif}, $ax^2 + bx+ c = 0$ ne possède pas de *{tdu::racine réelle}
Déterminer les racines (ou zéro) des équations suivantes :
$4x^2 - 5x + 1 = 0$
&
$8 + 2x -3x^2 = 0$
&
$9x^2 -24x + 16 = 0$
||
$(7x+3)(7x-3)= 0$
&
$2(x+2)^2= -8$
&
$(5x-8)(2-6x) = 0$
La courbe représentative $C_f$ de la fonction $f(x) = ax^2 + bx+ c $ : vspace{} $\bullet$ Lorsque le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ est *{bold::positif}, $C_f$ coupe l'axe des abscisses en deux points $\Big(\displaystyle x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a};0\Big)$ et $\Big(\displaystyle x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a};0\Big)$
$\bullet$ Lorsque le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ est *{bold::égal à $0$}, $C_f$ coupe l'axe des abscisses en un seul point $\Big(\displaystyle x_0 = \frac{-b}{2a};0\Big)$ qui est le sommet de la parabole.
$\bullet$ Lorsque le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ est *{bold::négatif}, $C_f$ ne coupe pas l'axe des abscisses.
Tracer les courbes représentatives des fonctions suivantes et indiquer quand ces représentations graphiques coupent l'axe des abscisses :
$f_1(x) = 7x - 3 +2x^2$
&
$f_2(x) = -3x^2 +2x +3$
&
$f_3(x) = (6x-2)^2$
Soient $a$, $b$ et $c$ des nombres réels tels que $a \not= 0$ et $f$ la fonction du second degré définie par $f(x) = ax^2+bx+c$ de courbe représentative $\mathcal{C}_f$. vspace{10} Une inéquation du second degré est du type : vspace{5} $\bullet$ $ax^2 + bx + c < 0$ $\rightarrow$ les abscisses $x$ des points de $\mathcal{C}_f$ strictement en *{bold::dessous} de l'axe des abscisses. vspace{5} $\bullet$ $ax^2 + bx + c > 0$ $\rightarrow$ les abscisses $x$ des points de $\mathcal{C}_f$ strictement au *{bold::dessus} de l'axe des abscisses. vspace{5} $\bullet$ $ax^2 + bx + c \leqslant 0$ $\rightarrow$ les abscisses $x$ des points de $\mathcal{C}_f$ en *{bold::dessous} de l'axe des abscisses. vspace{5} $\bullet$ $ax^2 + bx + c \geqslant 0$ $\rightarrow$ les abscisses $x$ des points de $\mathcal{C}_f$ au *{bold::dessus} de l'axe des abscisses.
On considère le trinôme $ax^2 + bx +c$ associé à la fonction $f(x) = ax^2 + bx +c$ de forme canonique $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ alors $\Delta = -4a\beta$ ($\Delta = 0 \ssi \beta = 0$) : vspace{10}
si $a > 0$ et $\beta > 0$ ($\Delta < 0$) & si $a < 0$ et $\beta \geqslant 0$ ($\Delta \geqslant 0$) || move(10,5) down('h-10') right('w-20') up('h-10') left('w-20') move(70,5) down('h-10') move(10,50) right('w-20') math('x',30,15,{fontSize: '14pt'}) math('-\\infty','lastX+45','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+','190','h-40',{fontSize: '14pt'}) //math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) //math('\\frac{-b}{a}','w-170','lastY',{fontSize: '14pt'}) math("f(x)",20,'h-40',{fontSize: '14pt'}) & move(10,5) down('h-10') right('w-20') up('h-10') left('w-20') move(70,5) down('h-10') move(10,50) right('w-20') math('x',30,15,{fontSize: '14pt'}) math('-\\infty','lastX+45','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('\\alpha - \\sqrt{\\frac{\\beta}{-a}}','140','lastY-7',{fontSize: '14pt'}) math('\\alpha + \\sqrt{\\frac{\\beta}{-a}}','280','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('-','110','h-40',{fontSize: '14pt'}) math('+','240','h-40',{fontSize: '14pt'}) math('-','380','h-40',{fontSize: '14pt'}) width(1) dash(3) line(175,50,175,'h-5') math('0','170','h-40',{fontSize: '14pt'}) line(330,50,330,'h-5') math('0','325','h-40',{fontSize: '14pt'}) math("f(x)",20,'h-40',{fontSize: '14pt'}) || si $a < 0$ et $\beta < 0$ ($\Delta < 0$) & si $a > 0$ et $\beta \leqslant 0$ ($\Delta \geqslant 0$) || move(10,5) down('h-10') right('w-20') up('h-10') left('w-20') move(70,5) down('h-10') move(10,50) right('w-20') math('x',30,15,{fontSize: '14pt'}) math('-\\infty','lastX+45','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('-','190','h-40',{fontSize: '14pt'}) //math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) //math('\\frac{-b}{a}','w-170','lastY',{fontSize: '14pt'}) math("f(x)",20,'h-40',{fontSize: '14pt'}) & move(10,5) down('h-10') right('w-20') up('h-10') left('w-20') move(70,5) down('h-10') move(10,50) right('w-20') math('x',30,15,{fontSize: '14pt'}) math('-\\infty','lastX+45','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('\\alpha - \\sqrt{\\frac{-\\beta}{a}}','140','lastY-7',{fontSize: '14pt'}) math('\\alpha + \\sqrt{\\frac{-\\beta}{a}}','280','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+','110','h-40',{fontSize: '14pt'}) math('-','240','h-40',{fontSize: '14pt'}) math('+','380','h-40',{fontSize: '14pt'}) width(1) dash(3) line(175,50,175,'h-5') math('0','170','h-40',{fontSize: '14pt'}) line(330,50,330,'h-5') math('0','325','h-40',{fontSize: '14pt'}) math("f(x)",20,'h-40',{fontSize: '14pt'})
Construire le tableau de signes des fonctions du second degré suivantes : vspace{10}
$f_1(x) = -2(x-3)^2+2$
&
$f_2(x) = 4(x+2)^2+6$
&
$f_3(x) = (5x-8)(2-6x)$
||
$f_4(x) = -3(x-2)^2+1$
&
$f_5(x) = 2(x+1)^2+3$
&
$f_6(x) = (3x-6)(2-x)$
Soit la forme développée de la fonction $f(x) = ax^2 + bx+ c $ ($a \not= 0$) :
$\bullet$ Lorsque le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ est *{bold::positif}, $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$
avec $\displaystyle x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\displaystyle x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$
$\bullet$ Lorsque le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ est *{bold::égal à $0$}, $f(x) = a(x-x_0)^2$ avec $\displaystyle x_0 = \frac{-b}{2a}$
$\bullet$ Lorsque le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ est *{bold::négatif}, $f$ ne possède pas de forme factorisée dans $\mathbb{R}$
Factoriser, si c'est possible, les expressions suivantes : vspace{10}
$A = 2x^2 - 8x + 1$
&
$B = 9 +3x^2 + 2x$
&
$C = 25 - 9x^2$
||
$D = 5x^2 - 8$
&
$E = 7 - 9x^2 + 4x$
&
$F = 10x^2 + 4x$
On considère le trinôme $ax^2 + bx +c$ associé à la fonction $f(x) = ax^2 + bx +c$ dont la forme factorisée existe : $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $x_1 \leqslant x_2$ c'est à dire $\Delta \geqslant 0$ : vspace{10} ,, Pour $a > 0$ move(10,5) down('h-10') right('w-20') up('h-10') left('w-20') move(120,5) down('h-10') move(10,50) right('w-20') math('x',55,15,{fontSize: '14pt'}) math('-\\infty','lastX+70','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('x_1','250','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('x_2','400','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+','180','h-40',{fontSize: '14pt'}) math('-','320','h-40',{fontSize: '14pt'}) math('+','470','h-40',{fontSize: '14pt'}) width(1) dash(3) line(255,50,255,'h-5') math('0','250','h-40',{fontSize: '14pt'}) line(405,50,405,'h-5') math('0','400','h-40',{fontSize: '14pt'}) math("f(x)",40,'h-40',{fontSize: '14pt'}) width(2) dash(0) line(10,'h-50','w-10','h-50') math("(x-x_2)",30,'h-80',{fontSize: '14pt'}) math('-','180','h-80',{fontSize: '14pt'}) math('-','320','h-80',{fontSize: '14pt'}) math('+','470','h-80',{fontSize: '14pt'}) math('0','400','h-80',{fontSize: '14pt'}) line(10,'h-90','w-10','h-90') math("(x-x_1)",30,'h-120',{fontSize: '14pt'}) math('-','180','h-120',{fontSize: '14pt'}) math('+','320','h-120',{fontSize: '14pt'}) math('+','470','h-120',{fontSize: '14pt'}) math('0','250','h-120',{fontSize: '14pt'}) line(10,'h-130','w-10','h-130') math("a",55,'h-160',{fontSize: '14pt'}) math('+','180','h-160',{fontSize: '14pt'}) math('+','320','h-160',{fontSize: '14pt'}) math('+','470','h-160',{fontSize: '14pt'}) vspace{10} ,, Pour $a < 0$ move(10,5) down('h-10') right('w-20') up('h-10') left('w-20') move(120,5) down('h-10') move(10,50) right('w-20') math('x',55,15,{fontSize: '14pt'}) math('-\\infty','lastX+70','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('x_1','250','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('x_2','400','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('-','180','h-40',{fontSize: '14pt'}) math('+','320','h-40',{fontSize: '14pt'}) math('-','470','h-40',{fontSize: '14pt'}) width(1) dash(3) line(255,50,255,'h-5') math('0','250','h-40',{fontSize: '14pt'}) line(405,50,405,'h-5') math('0','400','h-40',{fontSize: '14pt'}) math("f(x)",40,'h-40',{fontSize: '14pt'}) width(2) dash(0) line(10,'h-50','w-10','h-50') math("(x-x_2)",30,'h-80',{fontSize: '14pt'}) math('-','180','h-80',{fontSize: '14pt'}) math('-','320','h-80',{fontSize: '14pt'}) math('+','470','h-80',{fontSize: '14pt'}) math('0','400','h-80',{fontSize: '14pt'}) line(10,'h-90','w-10','h-90') math("(x-x_1)",30,'h-120',{fontSize: '14pt'}) math('-','180','h-120',{fontSize: '14pt'}) math('+','320','h-120',{fontSize: '14pt'}) math('+','470','h-120',{fontSize: '14pt'}) math('0','250','h-120',{fontSize: '14pt'}) line(10,'h-130','w-10','h-130') math("a",55,'h-160',{fontSize: '14pt'}) math('-','180','h-160',{fontSize: '14pt'}) math('-','320','h-160',{fontSize: '14pt'}) math('-','470','h-160',{fontSize: '14pt'})
En construisant un tableau des signes de la fonction du second degré associée, résoudre les inéquations suivantes : vspace{10}
$4x^2 + 5x + 9 < 0$
&
$8x^2 - 7x +6 \geqslant 0$
&
$9 - 6x^2 +3 > 0$
||
$8x - x^2 + 6 \leqslant 0$
&
$(5x -8)^2 \geqslant 0$
&
$(10x+9)(10x-9) < 0$
Soient $2$ fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x) = x^2-6x+2$ et $g(x) = -2x^2-3x+8$ de courbes représentatives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
Étudier le signe de $f(x) - g(x)$
Résoudre $f(x) \geqslant g(x)$
Étudier la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $\mathcal{C}_g$.
Dans un même repère, tracer $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
Soit une fonction du second degré $f(x) = ax^2+bx+c$ de forme canonique $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$. Écrire un programme en Python qui détermine les réels $\alpha$ et $\beta$ de la forme canonique d'une fonction du second degré.
Un pont est soutenu par un arc parabolique d'une portée de $200\;m$ et d'une hauteur de $80\;m$. Le pont et l'arc se coupent à $40\;m$ de la rive. Quelle est la hauteur du pont ?
À l'intérieur d'un jardin carré dont la longueur du côté est $10$ mètres, un jardinier souhaite installer, le long du bord, une allée en graviers de largeur constante. Comment faire en sorte que l'aire de l'allée soit égale à celle du carré intérieur ?
Déterminer les racines des trinômes suivants : vspace{10}
$\displaystyle \frac{3}{2}x - 2x^2 +1$
&
$\displaystyle x^2 - \sqrt{5}x +1$
&
$\displaystyle 7x - 8x^2 + \frac{1}{3}$
&
$\displaystyle \sqrt{10}x - \sqrt{2}x^2 + 1$
Résoudre dans $\mathbb{R}$, les inéquations suivantes : vspace{10}
$\displaystyle \frac{3x-7}{2x-9} \geqslant \frac{x+3}{9+3x}$
&
$\displaystyle \frac{x+1}{x-1} < \frac{3x+2}{7-2x}$
&
$\displaystyle \frac{4x-1}{x+9} \leqslant \frac{4x+1}{10-3x}$
&
$\displaystyle \frac{x-9}{3x-4} > \frac{5x-9}{4x+3}$
La parabole $\mathcal{P}$ coupe l'axe des ordonnées en $A(0 ; 3)$ et passe par $B(1 ; -1)$ et $C(3 ; 1)$. Déterminer son équation sous la forme $y=ax^2+bx+c$ puis sous la forme canonique. Tracer cette parabole.
Le directeur d'une salle de théâtre a remarqué qu'à $40$ € la place, il peut compter jusqu'à $500$ spectateurs et que chaque baisse de $2,50$ € lui amène $100$ personnes de plus. Soit $x$ le nombre de baisses du prix de la place de $2,50$ €. On modélise cette situation par la fonction $g$.
Déterminer l'expression de la fonction $g$.
Dresser le tableau de variation de $g$ puis tracer sa courbe représentative dans un repère.
Combien doit-il faire payer la place pour avoir une recette maximale ?
Un tennisman frappe droit devant lui une volée à $1\;m$ du filet alors que la balle est à $0,9\;m$ de hauteur en $A$. La balle franchit le filet en $B$ à une hauteur de $1,1\;m$ et atteint en $C$ une hauteur maximale de $1,3\;m$. La longueur d'un terrain de tennis est $23,77\;m$. La balle sortira-t-elle du cours ?
Soient $\mathcal{P}$ la parabole d'équation $y=x^2-x+1$ et la droite $(d)$ d'équation $y=4x-3$
Déterminer, par le calcul, les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{P}$ et $(d)$.
Dans un même repère, tracer $\mathcal{P}$ et $(d)$.
On considère l’équation $(E) : x^2 + 2x + m = 0$. L’objectif de l’exercice est de déterminer pour quelles valeurs de $m$ l’équation $(E)$ admet au moins une solution.
Résoudre, dans $\R$, les équations : $x^2 + 2x = 0$ et $x^2 + 2x + 1 = 0$
Résoudre, dans $\R$, $(E) : x^2 + 2x + m = 0$.
Le graphique ci-contre donne la courbe représentative d’un trinôme défini sur $\R$ par $f(x)=ax^2 +bx+c$ :
Donner par lecture graphique $f (0)$; $f (−1)$; $f (−2)$.
En déduire $a$, $b$ et $c$ puis l’expression de $f$.
& mark({Ox: '6cm',Oy: '3cm',cmy: 1,dy: 2,dx : 2}) grid(3) width(3) curve('2(x+1)^2-1',-10,10)
Ci-contre est donnée la représentation graphique $\mathcal{C}_f$ d’une fonction trinône $f$ définie sur $\R$ par sa forme canonique $f(x) = a(x−\alpha)^2 + \beta$.
Lire graphiquement les coordonnées du sommet de la parabole représentant la fonction $f$.
Déterminer l’expression de $f$.
& mark({Ox: '3cm',Oy: '3cm',cmy: 1,dy: 0.5,dx : 1}) grid(3) width(3) curve('-2(x-3)^2+5',-10,10)
On considère la droite $(d)$ d’équation $y = 2x + 3$ et $A$ le point de coordonnées $(1; 1)$. $M$ est un point quelconque de la droite $(d)$ et on note $x$ l’abscisse de $M$. On considère le point $B$ de coordonnées $(0; 3)$.
On définit la fonction $f$ par : $f(x) = AM^2$.
Justifier que l’ordonnée de $M$ est $y_M = 2x + 3$. Vérifier que $f(x)=5x^2 +6x+5$.
Vérifier que l’expression $5 (x + 0, 6)^2 + 3,2$ est la forme canonique du trinôme $f$.
Étudier les variations de la fonction $f$. Pour quelle valeur $x_0$ la fonction atteint-elle son extremum ?
$M_0$ est le point de la droite $(d)$ tel que la distance $AM^2$ soit minimale. Justifier que les coordonnées de $M_0$ sont $(−0, 6; 1, 8)$.
Vérifier que $B$ est un point de la droite $(d)$.
Déterminer la nature du triangle $ABM_0$. Que peut-on dire des droites $(AM_0)$ et $(d)$ ?
& mark({Ox: '6cm',Oy: '7cm',cmy: 1,dy: 1,dx : 1}) grid(3) width(3) curve('2x+3',-10,10) point(-2.3,'2*(-2.3)+3',{name: 'M',top: -0.4}) point(1,'1',{name: 'A'}) dash(5) line(-2.3,'2*(-2.3)+3',1,1)
Résoudre dans $\mathbb{R}$, les équations suivantes : vspace{10}
$\displaystyle \frac{2x-4}{x-7} = \frac{7x+3}{4+x}$
&
$\displaystyle \frac{x-8}{3x-7} = \frac{4x+3}{8+2x}$
vspace{10}
Un artisan fabrique entre $0$ et $60$ vases par jour et estime que le coût de production de $x$ vases est modélisé par la fonction $C$ donnée par $C(x) = x^2 − 10x + 500$. On note $R(x)$ la recette, en euros, correspondant à la vente de $x$ vases fabriqués. vspace{10}Un vase est vendu $50$ €.vspace{10}
Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$.
Calculer le coût, la recette et le bénéfice réalisés lorsque l’artisan vend $50$ vases.
Vérifier que le bénéfice, en euros, réalisé par l’artisan est donné par la fonction $B$ dont l’expression est : $B(x) = −x^2 + 60x − 500$.
Développe l’expression : $−(x − 30)^2 + 400$. En déduire le nombre de vases à vendre pour réaliser un bénéfice maximum.
Voici la droite $(d)$ d’équation $y = 6x + 30$ et la parabole $\mathcal{P}$ représentant la fonction $f$ : $f (x) = −4x^2 + 30x + 10$. vspace{10}
Démontrer, qu’étudier les positions relatives de la droite $(d)$ et de la parabole $\mathcal{P}$ revient à résoudre l’inéquation $−4x^2 + 24x − 20 \geqslant 0$.
Vérifier que l’expression $5 (x + 0, 6)^2 + 3,2$ est la forme canonique du trinôme $f$.
Vérifier que, pour tout réel $x$ : $−4x^2 + 24x − 20 = −4(x − 3)^2 + 16$.
Résoudre alors l’inéquation $−4x^2 + 24x − 20 \geqslant 0$.
Conclure.
& mark({Ox: '2cm',Oy: '6cm',cmy: 20,dy: 1,dx : 1,cmx: 2}) grid(3) width(3) curve('-4x^2 + 30x+10',-10,20) curve('6x + 30',-10,20)
On considère l'équation : $\displaystyle \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} = 1$ vspace{10}
Quelles sont les valeurs à exclure des solutions de cette équation ?
Démontrer que cette équation revient à résoudre l'équation : $ (x+1) + (x-1) = (x+1)(x-1)$
Quel est l'ensemble des solutions de cette équation.
Soient $\mathcal{P}$ la parabole d'équation $y=2x^2+x+4$ et $\mathcal{P}'$ la parabole d'équation $y=-x^2-5x+1$ vspace{10}
Déterminer, par le calcul, les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$.
Dans un même repère, tracer $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$.
Soit une fonction du second degré $f(x) = ax^2+bx+c$.
Écrire un programme en Python qui détermine les zéros de l'équation du second degré $f(x) = 0$.
On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 3x^2+12x-4$ de courbe représentative $\mathcal{C}_f$ et la fonction $g$ définie par $g(x) = -2x^2+2x+11$ de courbe représentative $\mathcal{C}_g$. vspace{10}
Déterminer l'ensemble de définition de $f$ et $g$.
Déterminer les caractéristiques de $f$ et $g$.
Donner la forme canonique de $f$ et $g$.
Dresser le tableau de variations de $f$ et $g$.
Démontrer que $f$ possède un minimum et préciser sa valeur.
Démontrer que $g$ possède un maximum et préciser sa valeur.
Dans un même repère, tracer $\mathcal{C}_f$ en rouge et $\mathcal{C}_g$ en bleu. Justifier précisément.
Développer l'expression $5(x-1)(x+3)$
Déterminer par le calcul, les coordonnées des points d'intersection des courbes représentatives de $f$ et $g$. Vérifier sur le graphique en plaçant des pointillés. (Il faut factoriser une expression puis utiliser une équation produit)
Déterminer par le calcul, l'ensemble des abscisses des points quand la courbe représentative de $f$ est au dessus de la courbe représentative de $g$. Représenter graphiquement ces abscisses sur le repère. (Il faut factoriser une expression puis établir un tableau de signes de cette expression)
On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x^2-12x-14$ de courbe représentative $\mathcal{C}_f$. vspace{10}
Déterminer les caractéristiques de $f$.
Donner la forme canonique de $f$.
Dresser le tableau de variations de $f$.
Démontrer que $f$ possède un extremum et préciser sa valeur.
Dans un repère adapté, tracer $\mathcal{C}_f$. Justifier précisément.
Déterminer, par le calcul, la forme factorisée de $f$.
Résoudre $2x^2-12x-14 \leqslant 0$
On considère la fonction $g$ définie par $g(x) = -30x -48 - 3x^2$ de courbe représentative $\mathcal{C}_g$. vspace{10}
Déterminer les caractéristiques de $g$.
Donner la forme canonique de $g$.
Dresser le tableau de variations de $g$.
Démontrer que $g$ possède un extremum et préciser sa valeur.
Dans un repère adapté, tracer $\mathcal{C}_g$. Justifier précisément.
Déterminer, par le calcul, la forme factorisée de $g$.
Résoudre $-30x -48 - 3x^2 > 0$
On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 24x - 2x^2 - 64$.
Donner la nature et les caractéristiques de $f$.
Donner l'ensemble de définition de $f$.
Déterminer la forme canonique de $f$. Justifier.
Déterminer le tableau de variations de $f$. Justifier.
Déterminer l'extremum de $f$. Justifier avec une démonstration.
Tracer très précisément la représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de $f$ dans un repère adapté. Justifier.
Déterminer la forme factorisée de $f$. Justifier.
Résoudre l'équation $f(x) = 0$. Retrouver graphiquement les solutions de cette équation. Indiquer la démarche.
Résoudre l'inéquation $f(x) \leqslant 0$. Retrouver graphiquement les solutions de cette inéquation. Indiquer la démarche.
On considère la fonction $g$ définie par $g(x) = -63 -12x + 3x^2$.
Donner la nature et les caractéristiques de $g$.
Donner l'ensemble de définition de $g$.
Déterminer la forme canonique de $g$. Justifier.
Déterminer le tableau de variations de $g$. Justifier.
Déterminer l'extremum de $g$. Justifier avec une démonstration.
Tracer très précisément la représentation graphique $\mathcal{C}_g$ de $g$ dans un repère adapté. Justifier.
Déterminer la forme factorisée de $g$. Justifier.
Résoudre l'équation $g(x) = 0$. Retrouver graphiquement les solutions de cette équation. Indiquer la démarche.
Résoudre l'inéquation $g(x) < 0$. Retrouver graphiquement les solutions de cette inéquation. Indiquer la démarche.