On considère la fonction du second degré $f$ de forme canonique $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ alors : vspace{}
vspace{20}
si $a > 0$ & si $a < 0$ ||
move(10,5)
down('h-10')
right('w-20')
up('h-10')
left('w-20')
move(70,5)
down('h-10')
move(10,50)
right('w-20')
math('x',30,15,{fontSize: '14pt'})
math('-\\infty','lastX+45','lastY',{fontSize: '14pt'})
math('+\\infty','lastX','lastY+35',{fontSize: '14pt'})
math('+\\infty','w-50','lastY-35',{fontSize: '14pt'})
math('+\\infty','lastX','lastY+35',{fontSize: '14pt'})
math('\\alpha','w-180','lastY-35',{fontSize: '14pt'})
math("f",30,'h-60',{fontSize: '14pt'})
arrow('->')
move(85,'h-80')
line(120,60)
math("\\beta",'w-180','lastY-10',{fontSize: '14pt'})
move('lastX+25','lastY+10')
line(120,-60)
&
move(10,5)
down('h-10')
right('w-20')
up('h-10')
left('w-20')
move(70,5)
down('h-10')
move(10,50)
right('w-20')
math('x',30,15,{fontSize: '14pt'})
math('-\\infty','lastX+45','lastY',{fontSize: '14pt'})
math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'})
math('\\alpha','w-180','lastY',{fontSize: '14pt'})
math("f",30,'h-60',{fontSize: '14pt'})
arrow('->')
move(85,'h-20')
line(120,-60)
math("\\beta",'w-180','lastY-10',{fontSize: '14pt'})
move('lastX+25','lastY+10')
line(120,60)
math('-\\infty','75','h-25',{fontSize: '14pt'})
math('-\\infty','75+270','h-25',{fontSize: '14pt'})
Construire le tableau de variations des fonctions du second degré suivantes :
vspace{10}
$f_1(x) = -2(x-3)^2+2$
&
$f_2(x) = 4(x+2)^2+6$
&
$f_3(x) = (5x-8)(2-6x)$
||
$f_4(x) = (5x-3)^2$
&
$f_5(x) = 9x^2-2x+5$
&
$f_6(x) = (7x+8)(7x-8)$
||
$f_7(x) = (x-3)^2$
&
$f_8(x) = x^2-x+3$
&
$f_9(x) = (2x+3)(x-1)$
||
$f_{10}(x) = (3x+1)^2$
&
$f_{11}(x) = x^2-2x+1$
&
$f_{12}(x) = (2x+4)(x+1)$
Soient $a$, $b$ et $c$ des nombres réels tels que $a \not= 0$ et $f$ la fonction du second degré définie par $f(x) = ax^2+bx+c$ de courbe représentative $\mathcal{C}_f$.
vspace{10}
Une inéquation du second degré est du type :
vspace{5}
$\bullet$ $ax^2 + bx + c < 0$ $\rightarrow$ les abscisses $x$ des points de $\mathcal{C}_f$ strictement en *{bold::dessous} de l'axe des abscisses.
vspace{5}
$\bullet$ $ax^2 + bx + c > 0$ $\rightarrow$ les abscisses $x$ des points de $\mathcal{C}_f$ strictement au *{bold::dessus} de l'axe des abscisses.
vspace{5}
$\bullet$ $ax^2 + bx + c \leqslant 0$ $\rightarrow$ les abscisses $x$ des points de $\mathcal{C}_f$ en *{bold::dessous} de l'axe des abscisses.
vspace{5}
$\bullet$ $ax^2 + bx + c \geqslant 0$ $\rightarrow$ les abscisses $x$ des points de $\mathcal{C}_f$ au *{bold::dessus} de l'axe des abscisses.
On considère le trinôme $ax^2 + bx +c$ associé à la fonction $f(x) = ax^2 + bx +c$ de forme canonique $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ alors $\Delta = -4a\beta$ ($\Delta = 0 \ssi \beta = 0$) : vspace{10}
si $a > 0$ et $\beta > 0$ ($\Delta < 0$) & si $a < 0$ et $\beta \geqslant 0$ ($\Delta \geqslant 0$) ||
move(10,5)
down('h-10')
right('w-20')
up('h-10')
left('w-20')
move(70,5)
down('h-10')
move(10,50)
right('w-20')
math('x',30,15,{fontSize: '14pt'})
math('-\\infty','lastX+45','lastY',{fontSize: '14pt'})
math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'})
math('+','190','h-40',{fontSize: '14pt'})
//math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'})
//math('\\frac{-b}{a}','w-170','lastY',{fontSize: '14pt'})
math("f(x)",20,'h-40',{fontSize: '14pt'})
&
move(10,5)
down('h-10')
right('w-20')
up('h-10')
left('w-20')
move(70,5)
down('h-10')
move(10,50)
right('w-20')
math('x',30,15,{fontSize: '14pt'})
math('-\\infty','lastX+45','lastY',{fontSize: '14pt'})
math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'})
math('\\alpha - \\sqrt{\\frac{\\beta}{-a}}','140','lastY-7',{fontSize: '14pt'})
math('\\alpha + \\sqrt{\\frac{\\beta}{-a}}','280','lastY',{fontSize: '14pt'})
math('-','110','h-40',{fontSize: '14pt'})
math('+','240','h-40',{fontSize: '14pt'})
math('-','380','h-40',{fontSize: '14pt'})
width(1)
dash(3)
line(175,50,175,'h-5')
math('0','170','h-40',{fontSize: '14pt'})
line(330,50,330,'h-5')
math('0','325','h-40',{fontSize: '14pt'})
math("f(x)",20,'h-40',{fontSize: '14pt'})
||
si $a < 0$ et $\beta < 0$ ($\Delta < 0$) & si $a > 0$ et $\beta \leqslant 0$ ($\Delta \geqslant 0$) ||
move(10,5)
down('h-10')
right('w-20')
up('h-10')
left('w-20')
move(70,5)
down('h-10')
move(10,50)
right('w-20')
math('x',30,15,{fontSize: '14pt'})
math('-\\infty','lastX+45','lastY',{fontSize: '14pt'})
math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'})
math('-','190','h-40',{fontSize: '14pt'})
//math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'})
//math('\\frac{-b}{a}','w-170','lastY',{fontSize: '14pt'})
math("f(x)",20,'h-40',{fontSize: '14pt'})
&
move(10,5)
down('h-10')
right('w-20')
up('h-10')
left('w-20')
move(70,5)
down('h-10')
move(10,50)
right('w-20')
math('x',30,15,{fontSize: '14pt'})
math('-\\infty','lastX+45','lastY',{fontSize: '14pt'})
math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'})
math('\\alpha - \\sqrt{\\frac{-\\beta}{a}}','140','lastY-7',{fontSize: '14pt'})
math('\\alpha + \\sqrt{\\frac{-\\beta}{a}}','280','lastY',{fontSize: '14pt'})
math('+','110','h-40',{fontSize: '14pt'})
math('-','240','h-40',{fontSize: '14pt'})
math('+','380','h-40',{fontSize: '14pt'})
width(1)
dash(3)
line(175,50,175,'h-5')
math('0','170','h-40',{fontSize: '14pt'})
line(330,50,330,'h-5')
math('0','325','h-40',{fontSize: '14pt'})
math("f(x)",20,'h-40',{fontSize: '14pt'})
Construire le tableau de signes des fonctions du second degré suivantes :
vspace{10}
$f_1(x) = -2(x-3)^2+2$
&
$f_2(x) = 4(x+2)^2+6$
&
$f_3(x) = (5x-8)(2-6x)$
||
$f_4(x) = -3(x-2)^2+1$
&
$f_5(x) = 2(x+1)^2+3$
&
$f_6(x) = (3x-6)(2-x)$
On considère le trinôme $ax^2 + bx +c$ associé à la fonction $f(x) = ax^2 + bx +c$ dont la forme factorisée existe : $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $x_1 \leqslant x_2$ c'est à dire $\Delta \geqslant 0$ : vspace{10}
,, Pour $a > 0$
move(10,5)
down('h-10')
right('w-20')
up('h-10')
left('w-20')
move(120,5)
down('h-10')
move(10,50)
right('w-20')
math('x',55,15,{fontSize: '14pt'})
math('-\\infty','lastX+70','lastY',{fontSize: '14pt'})
math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'})
math('x_1','250','lastY',{fontSize: '14pt'})
math('x_2','400','lastY',{fontSize: '14pt'})
math('+','180','h-40',{fontSize: '14pt'})
math('-','320','h-40',{fontSize: '14pt'})
math('+','470','h-40',{fontSize: '14pt'})
width(1)
dash(3)
line(255,50,255,'h-5')
math('0','250','h-40',{fontSize: '14pt'})
line(405,50,405,'h-5')
math('0','400','h-40',{fontSize: '14pt'})
math("f(x)",40,'h-40',{fontSize: '14pt'})
width(2)
dash(0)
line(10,'h-50','w-10','h-50')
math("(x-x_2)",30,'h-80',{fontSize: '14pt'})
math('-','180','h-80',{fontSize: '14pt'})
math('-','320','h-80',{fontSize: '14pt'})
math('+','470','h-80',{fontSize: '14pt'})
math('0','400','h-80',{fontSize: '14pt'})
line(10,'h-90','w-10','h-90')
math("(x-x_1)",30,'h-120',{fontSize: '14pt'})
math('-','180','h-120',{fontSize: '14pt'})
math('+','320','h-120',{fontSize: '14pt'})
math('+','470','h-120',{fontSize: '14pt'})
math('0','250','h-120',{fontSize: '14pt'})
line(10,'h-130','w-10','h-130')
math("a",55,'h-160',{fontSize: '14pt'})
math('+','180','h-160',{fontSize: '14pt'})
math('+','320','h-160',{fontSize: '14pt'})
math('+','470','h-160',{fontSize: '14pt'})
vspace{10}
,, Pour $a < 0$
move(10,5)
down('h-10')
right('w-20')
up('h-10')
left('w-20')
move(120,5)
down('h-10')
move(10,50)
right('w-20')
math('x',55,15,{fontSize: '14pt'})
math('-\\infty','lastX+70','lastY',{fontSize: '14pt'})
math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'})
math('x_1','250','lastY',{fontSize: '14pt'})
math('x_2','400','lastY',{fontSize: '14pt'})
math('-','180','h-40',{fontSize: '14pt'})
math('+','320','h-40',{fontSize: '14pt'})
math('-','470','h-40',{fontSize: '14pt'})
width(1)
dash(3)
line(255,50,255,'h-5')
math('0','250','h-40',{fontSize: '14pt'})
line(405,50,405,'h-5')
math('0','400','h-40',{fontSize: '14pt'})
math("f(x)",40,'h-40',{fontSize: '14pt'})
width(2)
dash(0)
line(10,'h-50','w-10','h-50')
math("(x-x_2)",30,'h-80',{fontSize: '14pt'})
math('-','180','h-80',{fontSize: '14pt'})
math('-','320','h-80',{fontSize: '14pt'})
math('+','470','h-80',{fontSize: '14pt'})
math('0','400','h-80',{fontSize: '14pt'})
line(10,'h-90','w-10','h-90')
math("(x-x_1)",30,'h-120',{fontSize: '14pt'})
math('-','180','h-120',{fontSize: '14pt'})
math('+','320','h-120',{fontSize: '14pt'})
math('+','470','h-120',{fontSize: '14pt'})
math('0','250','h-120',{fontSize: '14pt'})
line(10,'h-130','w-10','h-130')
math("a",55,'h-160',{fontSize: '14pt'})
math('-','180','h-160',{fontSize: '14pt'})
math('-','320','h-160',{fontSize: '14pt'})
math('-','470','h-160',{fontSize: '14pt'})
En construisant un tableau des signes de la fonction du second degré associée, résoudre les inéquations suivantes :
vspace{10}
$4x^2 + 5x + 9 < 0$
&
$8x^2 - 7x +6 \geqslant 0$
&
$9 - 6x^2 +3 > 0$
||
$8x - x^2 + 6 \leqslant 0$
&
$(5x -8)^2 \geqslant 0$
&
$(10x+9)(10x-9) < 0$