Une fonction $f$ définie sur $\R$ est une *{bold::fonction polynôme du second degré} ou *{bold::fonction du second degré} si elle est de la forme $f(x) = ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels tels que $a \not= 0$.
La représentation graphique ou courbe représentative d'une fonction du second degré est une *{bold::parabole}. L'équation de la parabole est : $y = ax^2 + bx + c$
$\bullet$ L'expression algébrique $ax^2+bx+c$ est appelée *{bold::trinôme du second degré}. vspace{} $\bullet$ L'écriture $f(x) = ax^2+bx+c$ de la fonction $f$ est la *{bold::forme développée de $f$}.
Déterminer si les fonctions suivantes sont des fonctions du second degré et donner le cas échéant les trois coefficients $a$, $b$ et $c$ :
$f_1(x) = 6 -3x^2 + 2x$
&
$f_2(x) = 4 + 7x$
&
$f_3(x) = (6x - 7)^2$
||
$f_4(x) = (8+4x)^2$
&
$f_5(x) = (3x+7)(3x-7)$
&
$f_6(x) = 4(2x-3)^2$
La *{bold::forme canonique} de la fonction du second degré $f$ définie par $f(x) = ax^2+bx+c$ est : vspace{} $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ avec $\displaystyle \alpha = -\frac{b}{2a} $ et $\beta = f(\alpha)$. Cette *{bold::forme canonique} est *{bold::unique}.
Donner la forme canonique des fonctions du second degré suivantes :
$f_1(x) = 4x^2 + 5x + 9$
&
$f_2(x) = -3x^2 - 7x +9$
&
$f_3(x) = 7x - x^2 -10$
||
$f_4(x) = 9x^2 + 16 - 24x$
&
$f_5(x) = 81 - 49x^2$
&
$f_6(x) = 7 + \sqrt{140}x + 5x^2$
||
$f_7(x) = 6x^2 - 9x +1$
&
$f_8(x) = \frac{x^2}{3} - \frac{x}{6} + 1$
&
$f_9(x) = 4 -12x + 9x^2$
La parabole $C_f$, courbe représentative de la fonction du second degré $f$ de forme canonique $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ a pour sommet $S(\alpha;\beta)$
Donner la forme canonique des fonctions du second degré suivantes :
mark({Ox: '3cm',Oy: '4cm',cmy: 2}) grid(3) width(3) curve('2(x-1)^2-4',-10,10) & mark({Ox: '3cm',Oy: '3cm',cmy: 2}) grid(3) width(3) curve('-2(x+1)^2+2',-10,10) & mark({Ox: '2cm',Oy: '4cm',cmy: 2}) grid(3) width(3) curve('-4(x-2)^2+6',-10,10) || Parabole $C_{f_1}$ & Parabole $C_{f_2}$ & Parabole $C_{f_3}$
La parabole $C_f$, courbe représentative de la fonction du second degré $f$ de forme canonique $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ est symétrique par rapport à la droite verticale d'équation $x= \alpha$.
Tracer la courbe représentative des fonctions suivantes en traçant l'axe de symétrie : vspace{10}
$f_1(x) = (x-8)^2+2$
&
$f_2(x) = 2(x+1)^2+3$
&
$f_3(x) = -2(4+x)^2-3$
||
$f_4(x) = (3x-3)^2$
&
$f_5(x) = 6x^2-8x+3$
&
$f_6(x) = (2x+5)(2x-5)$
On considère la fonction du second degré $f$ de forme canonique $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ alors : vspace{} vspace{20}
si $a > 0$ & si $a < 0$ || move(10,5) down('h-10') right('w-20') up('h-10') left('w-20') move(70,5) down('h-10') move(10,50) right('w-20') math('x',30,15,{fontSize: '14pt'}) math('-\\infty','lastX+45','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+\\infty','lastX','lastY+35',{fontSize: '14pt'}) math('+\\infty','w-50','lastY-35',{fontSize: '14pt'}) math('+\\infty','lastX','lastY+35',{fontSize: '14pt'}) math('\\alpha','w-180','lastY-35',{fontSize: '14pt'}) math("f",30,'h-60',{fontSize: '14pt'}) arrow('->') move(85,'h-80') line(120,60) math("\\beta",'w-180','lastY-10',{fontSize: '14pt'}) move('lastX+25','lastY+10') line(120,-60) & move(10,5) down('h-10') right('w-20') up('h-10') left('w-20') move(70,5) down('h-10') move(10,50) right('w-20') math('x',30,15,{fontSize: '14pt'}) math('-\\infty','lastX+45','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('\\alpha','w-180','lastY',{fontSize: '14pt'}) math("f",30,'h-60',{fontSize: '14pt'}) arrow('->') move(85,'h-20') line(120,-60) math("\\beta",'w-180','lastY-10',{fontSize: '14pt'}) move('lastX+25','lastY+10') line(120,60) math('-\\infty','75','h-25',{fontSize: '14pt'}) math('-\\infty','75+270','h-25',{fontSize: '14pt'})
Construire le tableau de variations des fonctions du second degré suivantes : vspace{10}
$f_1(x) = -2(x-3)^2+2$
&
$f_2(x) = 4(x+2)^2+6$
&
$f_3(x) = (5x-8)(2-6x)$
||
$f_4(x) = (5x-3)^2$
&
$f_5(x) = 9x^2-2x+5$
&
$f_6(x) = (7x+8)(7x-8)$
||
$f_7(x) = (x-3)^2$
&
$f_8(x) = x^2-x+3$
&
$f_9(x) = (2x+3)(x-1)$
||
$f_{10}(x) = (3x+1)^2$
&
$f_{11}(x) = x^2-2x+1$
&
$f_{12}(x) = (2x+4)(x+1)$
On considère la fonction du second degré $f$ de forme canonique $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ alors : vspace{} $f$ admet $\beta$ comme extremum qui est atteint pour $x=\alpha$.
,, C'est un maximum si $a$ est négatif.
,, C'est un minimum si $a$ est positif.
Déterminer l'extremum des fonctions du second degré suivantes : vspace{10}
$f_1(x) = -(x-5)^2+1$
&
$f_2(x) = 4(x+2)^2+2$
&
$f_3(x) = (3x-9)(2-x)$
||
$f_4(x) = (7x-1)^2$
&
$f_5(x) = 10x^2-10x+2$
&
$f_6(x) = (6x+4)(6x-4)$
||
$f_7(x) = (9x+6)^2$
&
$f_8(x) = 6x^2-12x+9$
&
$f_9(x) = (x+2)(x-2)$
||
$f_{10}(x) = (5x+1)^2$
&
$f_{11}(x) = x^2-4x+4$
&
$f_{12}(x) = (2x+4)(2x-4)$
Une équation du type $ax^2 + bx+ c = 0$ avec $a$, $b$ et $c$ des nombres réels tels que $a \not=0$ est appelée *{bold::équation du second degré}.
$\Delta = b^2 - 4ac$ est le *{bold::discriminant} du trinôme du second degré $ax^2 + bx+ c$.
Déterminer le discriminant des équations du second degré suivantes : vspace{10}
$4x^2 + 5x -8 = 0$
&
$8x - x^2 +2 = 0$
&
$4(x+2)^2 - 8 = 0$
||
$-5(x-3)^2 + 1 = 0$
&
$4(x+2)^2= -6$
&
$(5x-8)(2-6x) = 0$
Les solutions de l'équation $ax^2 + bx+ c = 0$ sont appelées *{bold::racines} ou *{bold::zéros}.
Lorsque le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ est *{bold::positif} : vspace{} L'équation $ax^2 + bx+ c = 0$ possède *{tdu::2 racines} $x_1$ et $x_2$ avec $\displaystyle x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\displaystyle x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$
Lorsque le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ est *{bold::nul}, l'équation $ax^2 + bx+ c = 0$ possède *{tdu::1 racine} $x_0$ avec $\displaystyle x_0 = \frac{-b}{2a}$
Lorsque le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ est *{bold::négatif}, $ax^2 + bx+ c = 0$ ne possède pas de *{tdu::racine réelle}
Déterminer les racines (ou zéro) des équations suivantes :
$4x^2 - 5x + 1 = 0$
&
$8 + 2x -3x^2 = 0$
&
$9x^2 -24x + 16 = 0$
||
$(7x+3)(7x-3)= 0$
&
$2(x+2)^2= -8$
&
$(5x-8)(2-6x) = 0$
La courbe représentative $C_f$ de la fonction $f(x) = ax^2 + bx+ c $ : vspace{} $\bullet$ Lorsque le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ est *{bold::positif}, $C_f$ coupe l'axe des abscisses en deux points $\Big(\displaystyle x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a};0\Big)$ et $\Big(\displaystyle x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a};0\Big)$
$\bullet$ Lorsque le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ est *{bold::égal à $0$}, $C_f$ coupe l'axe des abscisses en un seul point $\Big(\displaystyle x_0 = \frac{-b}{2a};0\Big)$ qui est le sommet de la parabole.
$\bullet$ Lorsque le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ est *{bold::négatif}, $C_f$ ne coupe pas l'axe des abscisses.
Tracer les courbes représentatives des fonctions suivantes et indiquer quand ces représentations graphiques coupent l'axe des abscisses :
$f_1(x) = 7x - 3 +2x^2$
&
$f_2(x) = -3x^2 +2x +3$
&
$f_3(x) = (6x-2)^2$
Soient $a$, $b$ et $c$ des nombres réels tels que $a \not= 0$ et $f$ la fonction du second degré définie par $f(x) = ax^2+bx+c$ de courbe représentative $\mathcal{C}_f$. vspace{10} Une inéquation du second degré est du type : vspace{5} $\bullet$ $ax^2 + bx + c < 0$ $\rightarrow$ les abscisses $x$ des points de $\mathcal{C}_f$ strictement en *{bold::dessous} de l'axe des abscisses. vspace{5} $\bullet$ $ax^2 + bx + c > 0$ $\rightarrow$ les abscisses $x$ des points de $\mathcal{C}_f$ strictement au *{bold::dessus} de l'axe des abscisses. vspace{5} $\bullet$ $ax^2 + bx + c \leqslant 0$ $\rightarrow$ les abscisses $x$ des points de $\mathcal{C}_f$ en *{bold::dessous} de l'axe des abscisses. vspace{5} $\bullet$ $ax^2 + bx + c \geqslant 0$ $\rightarrow$ les abscisses $x$ des points de $\mathcal{C}_f$ au *{bold::dessus} de l'axe des abscisses.
On considère le trinôme $ax^2 + bx +c$ associé à la fonction $f(x) = ax^2 + bx +c$ de forme canonique $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ alors $\Delta = -4a\beta$ ($\Delta = 0 \ssi \beta = 0$) : vspace{10}
si $a > 0$ et $\beta > 0$ ($\Delta < 0$) & si $a < 0$ et $\beta \geqslant 0$ ($\Delta \geqslant 0$) || move(10,5) down('h-10') right('w-20') up('h-10') left('w-20') move(70,5) down('h-10') move(10,50) right('w-20') math('x',30,15,{fontSize: '14pt'}) math('-\\infty','lastX+45','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+','190','h-40',{fontSize: '14pt'}) //math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) //math('\\frac{-b}{a}','w-170','lastY',{fontSize: '14pt'}) math("f(x)",20,'h-40',{fontSize: '14pt'}) & move(10,5) down('h-10') right('w-20') up('h-10') left('w-20') move(70,5) down('h-10') move(10,50) right('w-20') math('x',30,15,{fontSize: '14pt'}) math('-\\infty','lastX+45','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('\\alpha - \\sqrt{\\frac{\\beta}{-a}}','140','lastY-7',{fontSize: '14pt'}) math('\\alpha + \\sqrt{\\frac{\\beta}{-a}}','280','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('-','110','h-40',{fontSize: '14pt'}) math('+','240','h-40',{fontSize: '14pt'}) math('-','380','h-40',{fontSize: '14pt'}) width(1) dash(3) line(175,50,175,'h-5') math('0','170','h-40',{fontSize: '14pt'}) line(330,50,330,'h-5') math('0','325','h-40',{fontSize: '14pt'}) math("f(x)",20,'h-40',{fontSize: '14pt'}) || si $a < 0$ et $\beta < 0$ ($\Delta < 0$) & si $a > 0$ et $\beta \leqslant 0$ ($\Delta \geqslant 0$) || move(10,5) down('h-10') right('w-20') up('h-10') left('w-20') move(70,5) down('h-10') move(10,50) right('w-20') math('x',30,15,{fontSize: '14pt'}) math('-\\infty','lastX+45','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('-','190','h-40',{fontSize: '14pt'}) //math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) //math('\\frac{-b}{a}','w-170','lastY',{fontSize: '14pt'}) math("f(x)",20,'h-40',{fontSize: '14pt'}) & move(10,5) down('h-10') right('w-20') up('h-10') left('w-20') move(70,5) down('h-10') move(10,50) right('w-20') math('x',30,15,{fontSize: '14pt'}) math('-\\infty','lastX+45','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('\\alpha - \\sqrt{\\frac{-\\beta}{a}}','140','lastY-7',{fontSize: '14pt'}) math('\\alpha + \\sqrt{\\frac{-\\beta}{a}}','280','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+','110','h-40',{fontSize: '14pt'}) math('-','240','h-40',{fontSize: '14pt'}) math('+','380','h-40',{fontSize: '14pt'}) width(1) dash(3) line(175,50,175,'h-5') math('0','170','h-40',{fontSize: '14pt'}) line(330,50,330,'h-5') math('0','325','h-40',{fontSize: '14pt'}) math("f(x)",20,'h-40',{fontSize: '14pt'})
Construire le tableau de signes des fonctions du second degré suivantes : vspace{10}
$f_1(x) = -2(x-3)^2+2$
&
$f_2(x) = 4(x+2)^2+6$
&
$f_3(x) = (5x-8)(2-6x)$
||
$f_4(x) = -3(x-2)^2+1$
&
$f_5(x) = 2(x+1)^2+3$
&
$f_6(x) = (3x-6)(2-x)$
Soit la forme développée de la fonction $f(x) = ax^2 + bx+ c $ ($a \not= 0$) :
$\bullet$ Lorsque le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ est *{bold::positif}, $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$
avec $\displaystyle x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\displaystyle x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$
$\bullet$ Lorsque le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ est *{bold::égal à $0$}, $f(x) = a(x-x_0)^2$ avec $\displaystyle x_0 = \frac{-b}{2a}$
$\bullet$ Lorsque le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ est *{bold::négatif}, $f$ ne possède pas de forme factorisée dans $\mathbb{R}$
Factoriser, si c'est possible, les expressions suivantes : vspace{10}
$A = 2x^2 - 8x + 1$
&
$B = 9 +3x^2 + 2x$
&
$C = 25 - 9x^2$
||
$D = 5x^2 - 8$
&
$E = 7 - 9x^2 + 4x$
&
$F = 10x^2 + 4x$
On considère le trinôme $ax^2 + bx +c$ associé à la fonction $f(x) = ax^2 + bx +c$ dont la forme factorisée existe : $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $x_1 \leqslant x_2$ c'est à dire $\Delta \geqslant 0$ : vspace{10} ,, Pour $a > 0$ move(10,5) down('h-10') right('w-20') up('h-10') left('w-20') move(120,5) down('h-10') move(10,50) right('w-20') math('x',55,15,{fontSize: '14pt'}) math('-\\infty','lastX+70','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('x_1','250','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('x_2','400','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+','180','h-40',{fontSize: '14pt'}) math('-','320','h-40',{fontSize: '14pt'}) math('+','470','h-40',{fontSize: '14pt'}) width(1) dash(3) line(255,50,255,'h-5') math('0','250','h-40',{fontSize: '14pt'}) line(405,50,405,'h-5') math('0','400','h-40',{fontSize: '14pt'}) math("f(x)",40,'h-40',{fontSize: '14pt'}) width(2) dash(0) line(10,'h-50','w-10','h-50') math("(x-x_2)",30,'h-80',{fontSize: '14pt'}) math('-','180','h-80',{fontSize: '14pt'}) math('-','320','h-80',{fontSize: '14pt'}) math('+','470','h-80',{fontSize: '14pt'}) math('0','400','h-80',{fontSize: '14pt'}) line(10,'h-90','w-10','h-90') math("(x-x_1)",30,'h-120',{fontSize: '14pt'}) math('-','180','h-120',{fontSize: '14pt'}) math('+','320','h-120',{fontSize: '14pt'}) math('+','470','h-120',{fontSize: '14pt'}) math('0','250','h-120',{fontSize: '14pt'}) line(10,'h-130','w-10','h-130') math("a",55,'h-160',{fontSize: '14pt'}) math('+','180','h-160',{fontSize: '14pt'}) math('+','320','h-160',{fontSize: '14pt'}) math('+','470','h-160',{fontSize: '14pt'}) vspace{10} ,, Pour $a < 0$ move(10,5) down('h-10') right('w-20') up('h-10') left('w-20') move(120,5) down('h-10') move(10,50) right('w-20') math('x',55,15,{fontSize: '14pt'}) math('-\\infty','lastX+70','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('x_1','250','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('x_2','400','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('-','180','h-40',{fontSize: '14pt'}) math('+','320','h-40',{fontSize: '14pt'}) math('-','470','h-40',{fontSize: '14pt'}) width(1) dash(3) line(255,50,255,'h-5') math('0','250','h-40',{fontSize: '14pt'}) line(405,50,405,'h-5') math('0','400','h-40',{fontSize: '14pt'}) math("f(x)",40,'h-40',{fontSize: '14pt'}) width(2) dash(0) line(10,'h-50','w-10','h-50') math("(x-x_2)",30,'h-80',{fontSize: '14pt'}) math('-','180','h-80',{fontSize: '14pt'}) math('-','320','h-80',{fontSize: '14pt'}) math('+','470','h-80',{fontSize: '14pt'}) math('0','400','h-80',{fontSize: '14pt'}) line(10,'h-90','w-10','h-90') math("(x-x_1)",30,'h-120',{fontSize: '14pt'}) math('-','180','h-120',{fontSize: '14pt'}) math('+','320','h-120',{fontSize: '14pt'}) math('+','470','h-120',{fontSize: '14pt'}) math('0','250','h-120',{fontSize: '14pt'}) line(10,'h-130','w-10','h-130') math("a",55,'h-160',{fontSize: '14pt'}) math('-','180','h-160',{fontSize: '14pt'}) math('-','320','h-160',{fontSize: '14pt'}) math('-','470','h-160',{fontSize: '14pt'})
En construisant un tableau des signes de la fonction du second degré associée, résoudre les inéquations suivantes : vspace{10}
$4x^2 + 5x + 9 < 0$
&
$8x^2 - 7x +6 \geqslant 0$
&
$9 - 6x^2 +3 > 0$
||
$8x - x^2 + 6 \leqslant 0$
&
$(5x -8)^2 \geqslant 0$
&
$(10x+9)(10x-9) < 0$
Soient $2$ fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x) = x^2-6x+2$ et $g(x) = -2x^2-3x+8$ de courbes représentatives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
Étudier le signe de $f(x) - g(x)$
Résoudre $f(x) \geqslant g(x)$
Étudier la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $\mathcal{C}_g$.
Dans un même repère, tracer $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
Soit une fonction du second degré $f(x) = ax^2+bx+c$ de forme canonique $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$. Écrire un qui détermine les réels $\alpha$ et $\beta$ de la forme canonique d'une fonction du second degré.
Un pont est soutenu par un arc parabolique d'une portée de $200\;m$ et d'une hauteur de $80\;m$. Le pont et l'arc se coupent à $40\;m$ de la rive. Quelle est la hauteur du pont ?
À l'intérieur d'un jardin carré dont la longueur du côté est $10$ mètres, un jardinier souhaite installer, le long du bord, une allée en graviers de largeur constante. Comment faire en sorte que l'aire de l'allée soit égale à celle du carré intérieur ?
Déterminer les racines des trinômes suivants : vspace{10}
$\displaystyle \frac{3}{2}x - 2x^2 +1$
&
$\displaystyle x^2 - \sqrt{5}x +1$
&
$\displaystyle 7x - 8x^2 + \frac{1}{3}$
&
$\displaystyle \sqrt{10}x - \sqrt{2}x^2 + 1$
Résoudre dans $\mathbb{R}$, les inéquations suivantes : vspace{10}
$\displaystyle \frac{3x-7}{2x-9} \geqslant \frac{x+3}{9+3x}$
&
$\displaystyle \frac{x+1}{x-1} < \frac{3x+2}{7-2x}$
&
$\displaystyle \frac{4x-1}{x+9} \leqslant \frac{4x+1}{10-3x}$
&
$\displaystyle \frac{x-9}{3x-4} > \frac{5x-9}{4x+3}$
La parabole $\mathcal{P}$ coupe l'axe des ordonnées en $A(0 ; 3)$ et passe par $B(1 ; -1)$ et $C(3 ; 1)$. Déterminer son équation sous la forme $y=ax^2+bx+c$ puis sous la forme canonique. Tracer cette parabole.
Le directeur d'une salle de théâtre a remarqué qu'à $40$ € la place, il peut compter jusqu'à $500$ spectateurs et que chaque baisse de $2,50$ € lui amène $100$ personnes de plus. Soit $x$ le nombre de baisses du prix de la place de $2,50$ €. On modélise cette situation par la fonction $g$.
Déterminer l'expression de la fonction $g$.
Dresser le tableau de variation de $g$ puis tracer sa courbe représentative dans un repère.
Combien doit-il faire payer la place pour avoir une recette maximale ?
Un tennisman frappe droit devant lui une volée à $1\;m$ du filet alors que la balle est à $0,9\;m$ de hauteur en $A$. La balle franchit le filet en $B$ à une hauteur de $1,1\;m$ et atteint en $C$ une hauteur maximale de $1,3\;m$. La longueur d'un terrain de tennis est $23,77\;m$. La balle sortira-t-elle du cours ?
Soient $\mathcal{P}$ la parabole d'équation $y=x^2-x+1$ et la droite $(d)$ d'équation $y=4x-3$
Déterminer, par le calcul, les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{P}$ et $(d)$.
Dans un même repère, tracer $\mathcal{P}$ et $(d)$.
On considère l’équation $(E) : x^2 + 2x + m = 0$. L’objectif de l’exercice est de déterminer pour quelles valeurs de $m$ l’équation $(E)$ admet au moins une solution.
Résoudre, dans $\R$, les équations : $x^2 + 2x = 0$ et $x^2 + 2x + 1 = 0$
Résoudre, dans $\R$, $(E) : x^2 + 2x + m = 0$.
Le graphique ci-contre donne la courbe représentative d’un trinôme défini sur $\R$ par $f(x)=ax^2 +bx+c$ :
Donner par lecture graphique $f (0)$; $f (−1)$; $f (−2)$.
En déduire $a$, $b$ et $c$ puis l’expression de $f$.
& mark({Ox: '6cm',Oy: '3cm',cmy: 1,dy: 2,dx : 2}) grid(3) width(3) curve('2(x+1)^2-1',-10,10)
Ci-contre est donnée la représentation graphique $\mathcal{C}_f$ d’une fonction trinône $f$ définie sur $\R$ par sa forme canonique $f(x) = a(x−\alpha)^2 + \beta$.
Lire graphiquement les coordonnées du sommet de la parabole représentant la fonction $f$.
Déterminer l’expression de $f$.
& mark({Ox: '3cm',Oy: '3cm',cmy: 1,dy: 0.5,dx : 1}) grid(3) width(3) curve('-2(x-3)^2+5',-10,10)
On considère la droite $(d)$ d’équation $y = 2x + 3$ et $A$ le point de coordonnées $(1; 1)$. $M$ est un point quelconque de la droite $(d)$ et on note $x$ l’abscisse de $M$. On considère le point $B$ de coordonnées $(0; 3)$.
On définit la fonction $f$ par : $f(x) = AM^2$.
Justifier que l’ordonnée de $M$ est $y_M = 2x + 3$. Vérifier que $f(x)=5x^2 +6x+5$.
Vérifier que l’expression $5 (x + 0, 6)^2 + 3,2$ est la forme canonique du trinôme $f$.
Étudier les variations de la fonction $f$. Pour quelle valeur $x_0$ la fonction atteint-elle son extremum ?
$M_0$ est le point de la droite $(d)$ tel que la distance $AM^2$ soit minimale. Justifier que les coordonnées de $M_0$ sont $(−0, 6; 1, 8)$.
Vérifier que $B$ est un point de la droite $(d)$.
Déterminer la nature du triangle $ABM_0$. Que peut-on dire des droites $(AM_0)$ et $(d)$ ?
& mark({Ox: '6cm',Oy: '7cm',cmy: 1,dy: 1,dx : 1}) grid(3) width(3) curve('2x+3',-10,10) point(-2.3,'2*(-2.3)+3',{name: 'M',top: -0.4}) point(1,'1',{name: 'A'}) dash(5) line(-2.3,'2*(-2.3)+3',1,1)
Résoudre dans $\mathbb{R}$, les équations suivantes : vspace{10}
$\displaystyle \frac{2x-4}{x-7} = \frac{7x+3}{4+x}$
&
$\displaystyle \frac{x-8}{3x-7} = \frac{4x+3}{8+2x}$
vspace{10}
Un artisan fabrique entre $0$ et $60$ vases par jour et estime que le coût de production de $x$ vases est modélisé par la fonction $C$ donnée par $C(x) = x^2 − 10x + 500$. On note $R(x)$ la recette, en euros, correspondant à la vente de $x$ vases fabriqués. vspace{10}Un vase est vendu $50$ €.vspace{10}
Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$.
Calculer le coût, la recette et le bénéfice réalisés lorsque l’artisan vend $50$ vases.
Vérifier que le bénéfice, en euros, réalisé par l’artisan est donné par la fonction $B$ dont l’expression est : $B(x) = −x^2 + 60x − 500$.
Développe l’expression : $−(x − 30)^2 + 400$. En déduire le nombre de vases à vendre pour réaliser un bénéfice maximum.
Voici la droite $(d)$ d’équation $y = 6x + 30$ et la parabole $\mathcal{P}$ représentant la fonction $f$ : $f (x) = −4x^2 + 30x + 10$. vspace{10}
Démontrer, qu’étudier les positions relatives de la droite $(d)$ et de la parabole $\mathcal{P}$ revient à résoudre l’inéquation $−4x^2 + 24x − 20 \geqslant 0$.
Vérifier que l’expression $5 (x + 0, 6)^2 + 3,2$ est la forme canonique du trinôme $f$.
Vérifier que, pour tout réel $x$ : $−4x^2 + 24x − 20 = −4(x − 3)^2 + 16$.
Résoudre alors l’inéquation $−4x^2 + 24x − 20 \geqslant 0$.
Conclure.
& mark({Ox: '2cm',Oy: '6cm',cmy: 20,dy: 1,dx : 1,cmx: 2}) grid(3) width(3) curve('-4x^2 + 30x+10',-10,20) curve('6x + 30',-10,20)
On considère l'équation : $\displaystyle \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} = 1$ vspace{10}
Quelles sont les valeurs à exclure des solutions de cette équation ?
Démontrer que cette équation revient à résoudre l'équation : $ (x+1) + (x-1) = (x+1)(x-1)$
Quel est l'ensemble des solutions de cette équation.
Soient $\mathcal{P}$ la parabole d'équation $y=2x^2+x+4$ et $\mathcal{P}'$ la parabole d'équation $y=-x^2-5x+1$ vspace{10}
Déterminer, par le calcul, les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$.
Dans un même repère, tracer $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$.
Soit une fonction du second degré $f(x) = ax^2+bx+c$.
Écrire un qui détermine les zéros de l'équation du second degré $f(x) = 0$.